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高校生のための数学の質問スレPART272

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0001１３２人目の素数さん2010/09/09(木) 23:20:07
まず>>1-3をよく読んでね

前スレ
高校生のための数学の質問スレPART271
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1282195051/

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
0449１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:55:26
>>447 ５分もあれば計算できる。200!!/201!!
0450１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:59:07
>>448
ゆとり乙
0451１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 22:05:05
>>450
逃げてんじゃねーよ
さっさと説明しろ
0452１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 22:24:49
>>448
a + bi = 0 の等号の意味を深く考えれば自ずと道は開ける。
0453１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 22:29:04
>>452
ぷっｗｗそんなイミフなこといって逃げる気か？
0454１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 22:30:50
因みに君はどちら派だ？
0455１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 22:33:12
>>454
>>330の考え通り
0456１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 22:33:20
b≠0なら　i=-a/b　で矛盾。よってb=0、従ってa=0。
どこが間違いなんでしょうか・・・
04573622010/09/17(金) 23:14:27
>>364-371,380
ありがとうございます。勉強になりました。
0458１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:33:56
a+bi = 0　⇔　a=b=0　(a, b：実数)
を証明するには、1とiが実数を係数とするベクトル空間Cで
一次独立になることを言えばいい。
0459１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:34:31
ユトリってやっぱりバカだな
0460１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:42:36
スカラー倍で等しくなるからだめじゃね？
0461１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:46:54
お値段以上ユトリ♡
0462１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:55:30
繰り返しになるが､新しい数の概念である複素数を導入するとき､
何を 持って等しいと定義するかきちんと書いてあるはず｡
行列の導入、ﾍﾞｸﾄﾙの導入も然り｡
そこを踏まえれば分かるだろう｡

a､b が実数で a＋bi＝1+2i なら定義から直ちに a＝1､b＝2 となる。
0463１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:57:50
で？
0464１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 23:59:23
>>456の頭の中には間違った概念が既にある。
0465１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:01:20
>>463
調子こいて２字ﾚｽしてんじゃねえよ､禿
0466１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:04:09
月並みだが､答えはお前の心の中にある．
0467１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:05:35
お値段以上．．．ユトリ！
0468１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:18:31
証明すべきものと気付かなかったのか？

a, b:　実数, f(x) = x^2+1について
a+bi = 0とする。
g(x) = a + bxとおくとg(i) = a+bi = 0より、f(x)は実数上既約なのでg(x)を割り切る。
一方、g(x)の次数<f(x)の次数だから、g(x)=0.。1とxは実数上一次独立だから, a = b = 0。
(1とxが実数上一次独立なのとf(x)が実数上既約なのはわかるよな？)

0469１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:22:06
「a+bi = 0とする｣ってどうするの？
0470１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:28:04
釣りか真性なのか判断しかねる
0471１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:30:34
>>469
複素数体は整域なので0と書いたが、誤解したか？
04724482010/09/18(土) 00:33:18
とりあえず>>330の考えは合っているんでしょうか？
0473１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:36:36
少なくとも高校過程では間違い
0474１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:44:10
a + b*i = 0
のとき　a,bがともに実数であるならば　a=b=0

どっか間違ってるの？俺は分からん
0475１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:44:32
>>471
いや、君はもういい
0476１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:51:11
>>471
君、役立たずっていわれるだろｗ
0477１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:53:49
>>472
手持ちの高校数ＩＩ教科書より
----
2つの複素数の相等について、次のように定める。
　==複素数の相等==
　a,b,c,dが実数の時、a+bi=c+di ⇔ a=c かつ b=d
　とくに、　a+bi=0 ⇔ a=b=0
----
これでわかるように、「a,bが実数のとき a+bi=0 ⇔ a=b=0」は、高校数学では
公理(議論の初めにおかれた前提。「定める」の言葉がそれを示している)なので、
これ以上証明や説明はできない。

従って、>>330の内容が、a+bi=0 ⇔ a=b=0がなりたつ「理由」や「証明」だと思って
いるなら、そう考えることは間違い。

ただし、実数としての値をとる正体不明な変数a,bがa+bi=0を満たすことが(式変形などにより)
分かった時、a=b=0であると決定できる、と考えるのは正しい推論。
0478１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 00:57:06
すまん　誰か教えてくれ
>>468の議論が俺にはわからないんだ
「f(x)は実数上既約なのでg(x)を割り切る」ってどういうこと？

俺はa+bi=0の話ふった奴じゃないんだが
なんか気になってしまって
0479１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:07:14
箱の中に、1からnまでの数字をそれぞれ1つずつ書いたn枚のカードがはいっている。
箱から無作為に1枚のカードを取り出して、その数字を記録し、箱にもどす。
この試行をk回繰り返してそれまでに記録された相異なる数字の個数をS[k]とする。
S[k]=rとなる確率をP(S[k]=r)で表すとき、

(1)P(S[k]=r)をP(S[k-1]=r)とP(S[k-1]=r-1)で表せ。
(2)S[k]の期待値Ek=Σ[r=1→k]rP(S[k]=r)を求めよ。

(1)は、P(S[k]=r)=(r/n)*P(S[k-1]=r)+(n-r+1)/n)*P(S[k-1]=r-1)
となるのは簡単だったのですが、
ここから(2)をどう解けばよいのかわかりませんでした。
よろしくお願いします。
04804482010/09/18(土) 01:12:00
>>477
なるほど、そもそも定義なのに自分が>>330を理由として扱っていたのが間違いだったのですね
とても分かりやすく丁寧にどうも有り難うございます
つまり>>330の内容は「推論」としては正しいということでいいのでしょうか
0481１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:29:38
>>477
高校数学では証明できる性質を公理として与えているので
公理としては過剰ということでしょうか？
0482１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:32:21
>>410
遅くなりました。有り難うございます。
その問題集については、捨てろ、とでも言っておきます。
0483１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:35:19
>>370>>374
肝心なところで知恵が足らん人が多いな
0484１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:36:26
>>480
>>330の内容は定義から自明、というべき。
ただし、あなたの数学的嗅覚は他を圧倒しているといえる。
0485１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:38:51
>>428>>446
レスありがとうございます。
∫[0,1] (1-x^2)^2 dxを
∫[0,1] (1-x^2)^100 dx
に変えて聞いてみたんですが展開する以外に方法ないんですかね。
0486１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:43:49
>>485
x=cosθとかx=sinθとおけば漸化式を導けるんじゃない？
それを解いてけば、求めたい値を得られるかもね。
0487１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:51:38
>>481
過剰ではあるかもしれないけど、「(高校範囲で)証明可能」ではないと思うよ。
>>447で示した内容は、「複素数範囲で"0"とは何か」ということの定義として
読めるし、そう読まれるべきでもあると思う。

相等と加法を定義して、「0」は加法の単位元であるとした上で、その「0」が満たすべき
条件を考えるのが本筋だろうけれど、それに必要な道具立てや体系が高校数学には
整っていないのじゃないかな。だから「高校数学の範囲では証明不可能」のように思う
（ただし、自分はこの辺ちゃんと勉強してないので、大外ししてる可能性あり)。
0488１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:58:28
ユトリってやっぱりバカだな
0489１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 01:59:37
↓はい次
04903252010/09/18(土) 02:20:42
>>484
前提として決められている定義なんですね
最後まで丁寧に教えてくださって本当に有難うございました！！
0491１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 02:28:27
>>490
どういたしまして。
0492１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 03:35:55
計ったような素敵な慣れ合いがまだ続きますよ
0493１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 03:41:31
>>492
一緒に続けようぜ。なっ
0494１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 03:44:59
実数　a,b　が　a^2+b^2=0　を満たすとき　a=b=0　ですか？
0495１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 03:48:22
ですよ。
0496１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 04:03:53
すると　>>325さんが言っている　実数a,bに対してa+bi=0　のとき、
この両辺に　a-bi=0　をかけて　a^2-(b^2)(i^2)=0。
i^2=-1からa^2+b^2=0。a,bは実数なので　a=b=0。
となります。
単なる定理ですか？
公理による演繹はどこに隠れているんでしょうか？
0497１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 04:34:43
６個の箱にそれぞれランダムにＡ〜Ｚのアルファベットを１個入れる
26*26*26*26*26*26　ですよね？
ＡＡＡＡＡＡが出て、次にまた同じＡＡＡＡＡＡが出る確率はどうやって計算すればいいんでしょうか？
0498１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 04:52:25
次にって
次に至るまでにどういう操作をすんの？
0499１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 04:53:51
数Iでもいいんでしょうか・・

(x-3y)(x+3y)(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)ってどうやって説いたらいいんでしょう?

解答の答えだけ見てもさっぱりわからなくて・・。
0500１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 04:55:55
説くって何を説くの？
0501１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 04:58:20
>>498
書き方が悪かったようですいません。
連続で同じ並びが出る確率です。
0502１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 05:00:07
連続で同じ操作をするの？
05034992010/09/18(土) 05:02:54
>>500 すいません。説くではなく、展開の仕方がわからないんです
0504１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 05:05:57
>>497
日本語は正しく使いましょう
また問題は正しく書き写しましょう
貴方の前提としている条件．操作，考えは逐一書かなければわかりません
0505１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 05:10:57
>>503
地道にコツコツでいいんじゃないかな

最初の括弧と２番目の括弧、３番目の括弧と４番目の括弧でまず展開してもいいし
最初の括弧と３番目の括弧、２晩目の括弧と４番目の括弧でまず展開してもいいだろうし
で、あとはなるべく（ａ+ｂ）（ａ-ｂ）の公式を活用すると。
05064992010/09/18(土) 05:34:18
>>505さん

(x-3y)(x+3y)(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)を展開するのに

最初と2番目の括弧で　a^2-b^2=(a+b)(a-b)の公式を使って　

(x^2-9y^2)(x^2+3xy+y^2)(x^2-3xy+y^2)

そこからひたすらコツコツで解答までたどり着けました!
ですが、とても時間が掛かってしまいました…。

後ろの括弧で使えそうな公式があるような雰囲気を感じるのですが
何か使える公式は他にないんでょうか?
0507１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 05:40:37
（x^2+3xy+y^2）（x^2-3xy+y^2）
＝（x^2+y^2+3xy）（x^2+y^2-3xy）　　項の順番入れ替えただけ
＝（Ａ+3xy）（Ａ-3xy）　　　　　　　　　　x^2+y^2＝Ａのおきかえ
　
これで公式が使えるけど、慣れてないと地道にやるのと比べてほんの少し楽になる程度
05084992010/09/18(土) 06:01:36
>>507さん
今それもやってみました。
これもひたすら書いて書いて展開できました。

どちらにしても、とてもコツコツな問題だったって事なんですね。
ありがとうございました!
0509１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 07:00:04
慣れるとコツコツとは感じないと思う
>>507のところを先に展開するとして、
最初のカッコから　Ａ^2−9x^2y^2になって、Aをもとに戻すところまでは
Aに置き換える過程を書かなくても瞬間的に暗算できるくらいにはすぐ上達するだろうから
0510１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 07:05:56
ユトリは計算ドリルから始めます
0511１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 07:10:52
ユトリル
0512１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 08:42:03
>>496
>この両辺に　a-bi=0　をかけて　a^2-(b^2)(i^2)=0。
a-bi=0になるかどうかはまだ分からないけれどそれは置くとして、
乗法についてはどの段階でどのように定義されたの?

実数a,b,c,dを使って表せる複素数a+biとc+diに対して、
(a+bi)(c+di)が「定義として」(ac-bd)+(ad+bc)iに等しいと定義したとしても、

>i^2=-1からa^2+b^2=0。
ここが論点先取になってる。上記の乗法の定義から言えることは
(a+bi)(a-bi)=(a^2-b^2)+0i であることまで。これが0に等しいことを
言うには、すでに出ている複素数における0の定義を使う必要が
出てくると思うけれど。
0513１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 08:43:00
どっか行ってくれないかな
0514１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 08:44:44
>>512　実数部は(a^2+b^2)ね。
0515１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 09:20:26
>>512
死ねよ雑魚
0516１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 09:37:45
実数a,bに関して　2次方程式　ｘ^2+2ax+a^2+b^2=0　がx=0を解にもったら　a^2+b^2=0
a,bは実数なので　a=b=0。従って、特にこの2次方程式はx=0を2重解としてもつ。
高校生にはこれでいいんです。
0517１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 09:51:39
「論点先取り」っていうむつかしい言葉をどこで覚えたんですか？
0518１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 09:54:46
アンカつけずに煽ってもなあ
0519１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:01:32
王手飛車取り
0520１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:05:42
桂香損
0521１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:08:01
>>518
このスレから目を放せない病人向けだからアンカ梨でいいんです。
うーん、瑞々しい。
0522１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:09:13
スマップ香取
0523１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:12:27
>>521
病人煽るお前も病人

数学的帰納法で俺も病人だな
0524１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:14:10
>>510
0525１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 10:24:20
各項が正である数列{a[n]}があり、S[n] = a[1] + a[2] + ・・・ + a[n] とおく。

lim( a[1]/S[1] + a[2]/S[2] + ・・・ + a[n]/S[n] ) が有限の値に収束するとき、
lim S[n] も有限の値に収束することを示せ。
　(lim は n→∞ の意味です)


簡単な問題なのかもしれませんが、手がかりさえつかめません。
ご教授をおねがいｓます。

0526１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 12:50:08
1・3・5・．．．・(2n-1)×2^n
=(2n)(2n-1)(2n-2)・・・(n+1)

n=1の時
左辺=1・2^1=2
右辺=2


なぜそうなるのでしょうか？
・・・の後だけ計算してるだけじゃないですか？
0527１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 12:55:37
>>492
死ねよ何もできない雑魚
0528１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 12:58:23
スマップ香取
0529１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:04:31
>>526
数学的帰納法で証明できる
0530あ2010/09/18(土) 13:06:05
>>526
帰納法使います(^O^)
n=kのとき
1･3･5･…･(2n-1)･2^n=2n･(2n-1)･…･(n+1)が成り立つと過程する

左辺に
2･(2n+1)をかけると

1･3･5･…･(2n-1)･(2n+1)･2^(n+1)=2･(2n+1)･2n･(2n-1)･…･(n+1)=(2n+2)･(2n+1)･2n･(2n-1)･…･(n+2)
より成り立つ

って感じでやりましょう
0531あ2010/09/18(土) 13:07:27
最後の
より成り立つ
の部分を
よりn=k+1の時も成り立つに訂正します(^O^)
0532１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:12:37
どう考えてもn=1の時は右辺は0じゃないですか？
0533１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:18:23
>>532
2n-2に引っかかってるのか？
右辺は
n=4 のとき 2n=8, n+1=5 だから 8×7×6×5
n=3 のとき 2n=6, n+1=4 だから 6×5×4
n=2 のとき 2n=4, n+1=3 だから 4×3
n=1 のとき 2n=2, n+1=2 だから 2
という意味だろ
0534１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:25:50
「...」なんか使うからいけない。
Π[k=0,n-1](2n-k)
と書けば紛れがないのに。
0535１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:28:05
それじゃ左辺が説明つかないじゃないですか
0536１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:31:26
1・3・5・．．．・(2n-1)×2^nは

1と3の間に2が無いからn=1のときどうなるんですか
0537１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:34:48
>>526
(2n)!=1・3・5・．．．・(2n-1) ・2・4・6・．．．2n
= 1・3・5・．．．・(2n-1) ・2^n・n!
よって
(2n)!/n!= 1・3・5・．．．・(2n-1) ・2^n
0538１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:36:29
>>536
左辺は
n=4 のとき 2n-1=7 だから (1×3×5×7)×2^4
n=3 のとき 2n-1=5 だから (1×3×5)×2^3
n=2 のとき 2n-1=3 だから (1×3)×2^2
n=1 のとき 2n-1=1 だから (1)×2^1
という意味だな
0539１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 13:37:10
あああああ混乱してきた
これだから数列は嫌なんだよ！
0540１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 14:19:35
三角形の３個の角度のうち、２つの角度が同じならば
必ず二等辺三角形になりますか？
0541１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 14:23:05
>>540
証明してみ
0542１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 14:41:15
>>540
合同の定理：
△ABC、△A’B’C’について、BC=B’C'、∠B=∠B’、∠C=∠C'⇒△ABC≡△A’B’C’
を使うと証明できるぞ。
0543１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 14:50:27
そんなことしなくても代数的に証明できる
0544１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 15:02:52
BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’⇒△ABC≡△A’B’C’
で
∠B=∠C
の場合は
BC=B’C’、∠B=∠C’、∠C=∠B’⇒△ABC≡△A’C’B’
もなりたつ。ゆえに
AB=A’C’=AC
0545１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 15:19:38
もうこのウンコには二度と出会えないんだな…って思ってしみじみするよな
そして泣きながら水を流す
0546１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 15:21:42
もうこのウンコには二度と出会えないんだな…って思ってしみじみするよな
そして泣きながら水を流す
0547１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 15:22:37
>>545
必ずしも流さなくていいと思う
0548１３２人目の素数さん2010/09/18(土) 15:23:42
食べればいいじゃん
ウンコは俺の体の中で生き続ける
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