P(3)を直接だそうとするとすんげーめんどそうなので余事象でいっかってやったけど
真面目に考えるなら
k(2≦k≦n)回目で2を引いて終わるとき
k-1回目までに少なくとも1回は３を引きかつ残りは１あるいは３を引く
C[k-1,1]*(1/4)*(2/4)^(k-2) * (1/4)
Σ[k=2,n]C[k-1,1]*(1/4)*(2/4)^(k-2) * (1/4)
= (-n+2^n-1)*2^(-n-2)
また一度も2,4を引かずn回中少なくとも1回3をひくとき
C[k=n,1]*(1/4)*(2/4)*^(n-1) = 2^(-n-1)
これらの和が
P(3) = (-n+2^n-1)*2^(-n-2) + 2^(-n-1)
= 1/2^(2n)*(2^(n-1)+2^(n-2)*(-n+2^n-1))
= 2^(n-2)/2^(2n)*(2-n+2^n-1) = 2^(n-2)*(1+2^n-n)/4^n

あれ？ウルフラムさんに計算お願いしたら
>>364が間違ってる気がしてきた　もー考えたくない