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高校生のための数学の質問スレPART272

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0001１３２人目の素数さん2010/09/09(木) 23:20:07
まず>>1-3をよく読んでね

前スレ
高校生のための数学の質問スレPART271
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1282195051/

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。

・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
0348１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:18:05
>>347
ごめん　どのへんが反例なのかわからない
P(x) = Q(x)π[k=1,n](x-k) + x　で
結論は変わってないと思うけど・・・
0349１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:19:39
>>316
そういうとこでドロップアウトしちゃったから
原理名とかだけならべて頭悪くないフリをしたくなるわけさ。
0350１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:21:51
>>331
二項係数間の比をとればいいのでは？
0351１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:25:20
>>337
途中までＯＫ

6Aの確率と5A+Bの確率との比を出すとこまでは

次は6Aの確率で4A+2Bの確率をあらわすとこまでいかずに
5A+Bの確率と4A+2Bの確率との比を式にする。

比の値を分数かなんかで出して、１より大きいか小さいかで確率の大小を判断させたいんじゃないかな、先生は。
0352１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:31:15
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0353１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:32:11
このスレはあなたにとって役に立ちましたか？
　
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　○　役にたった
　○　どちらともいえない
　○　役に立たなかった
　○　全く役にたたなかった
　●　わからない
0354１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:37:12
>>348
とりあえずx>n+1でnが十分大きいの場合
明らかに最小公倍数R<Π[k=1,n](x-k)で
P(x)=R+xのΠ[k=1,n](x-k)での余りはR+xになる
まぁ問題文自体に疑問はあるけど
0355１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:44:55
>>354
まず最小公倍数ってのがよくわからない
xは別に整数に限るわけじゃないし
P(k) = k　を満たすような　P(x)=R+x　の形だと
R=Q(x)*Π[k=1,n](x-k)　になると思うんだけど
具体的にR<Π[k=1,n](x-k)になる例ってある？
03563202010/09/17(金) 01:57:45
>>346
なるほど、わかりました。ありがとうございます。
反例とかでてきたんで問題文を正確にかくと
nは2以上の自然数とする。k=1,2,3,・・・,nについて、整式P(x)をx-kで
割った余りがkとなった。P(x)を(x-1)(x-2)(x-3)・・・(x-n)で割った余りを求めよ。
0357１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 01:58:00
三角形OABにおいて、∠AOBの二等分線をlとし、直線l上の点をPとするとき、
|OP↑|を|OA↑|, |OB↑|を用いて表せ。

この問題を、
直線lと辺ABの交点をQとする。
角の二等分線の性質から、AQ:QB=|OA↑|:|OB↑|
よって、OQ↑=(|OB↑|OA↑+|OA↑| OB↑)/(|OA↑|+|OB↑|)
したがって、OP↑=tOQ↑=t((|OB↑|OA↑+|OA↑| OB↑)/(|OA↑|+|OB↑|))

としたのですが、どこで間違ってしまったのでしょうか
0358１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 02:00:35
勝手なｔ使っていいなら分母いらなくね？
0359１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 02:10:25
>>358
お前は何？
0360１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 02:11:03
>>359は何が言いたいのだろう
0361１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 02:11:58
>>355
xは整数も取りうる、と考えてみてたけど穿ちすぎてたかなぁ
xが実数なら
P(x)=Q(x)Π[k=1,n](x-k)+x
だけかな･･･
0362１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 02:39:21
質問させていただきます。2つほど手がつけられない問題があり、ご教授いただきたいです。

袋の中に1,2,3,4の番号をつけた球がそれぞれ1個ずつ合計4個はいっている。
球を1個とり出し、番号を見てから袋にもどす。偶数の番号の球をとり出さない限りはこの操作をｎ回行うが、
偶数の番号の球をとり出したときはそれでやめることにする。
とり出した球の番号の最大値の確率分布を求めよ。


変量x1,x2,・・・・・・,xnはいずれも0または1とする。0がr個、1がn-r個あるとき、
x1,x2,・・・・・・,xnの平均(期待値)をm(r),分散をV(r)とおく。
(1)m(r)とV(r)を求めよ。
(2)r=0,1,・・・・・・.nでのV(r)の最大値aおよび最小値bを求めよ。
0363１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 02:53:50
>>357
べつにOQ↑まで間違ってはいないと思うよ
ただ(OA↑/OA)+(OB↑/OB)は二等分線上にある点だから
これを実数倍したものがOP↑になるはず
だから t>0 として
OP↑ = t/|OA↑|*OA↑ + t/|OB↑|*OB↑
絶対値を|OA↑|と|OB↑|とtだけで表すのは無理だと思います
内積が出てくるので・・
0364１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 03:36:50
>>362
偶数の番号の球を取り出したときはやめるのはわかったけど
n回奇数の番号の球を取りだしたときもやめるってことでいいのね？
最大値をXと置いたとき
(1)最大値X=1のとき
n回1の球を取り続けるんだから確率はP(1)=(1/4)^n=1/4^n
(2)最大値X=2のとき
k=1,2,・・・,nとして
k-1回1をとり続けてk回目に初めて2を取れば良い
1回目で2・・・(1/4)
2回目で2・・・(1/4)(1/4)
確率の総和は
P(2)=Σ[k=1,n](1/4)^k = 1/4*(1-(1/4)^n)/(1-1/4) = (1-1/4^n)/3
=(1/3*2^(2n) - 1/3)/4^n
(3)最大値X=4のとき
k-1回2,4を取らずk回目に初めて４を取れば良い
1回目で4・・・(1/4)
2回目で4・・・(2/4)(1/4)
3回目で4・・・(2/4)^2(1/4)
確率の総和は
P(4)=Σ[k=1,n](1/4)(2/4)^(k-1) = 1/4*(1-(2/4)^n)/(1-2/4) = (1-2^n/4^n)/2
= (2^(2n-1)-2^(n-1))/4^n
(4)最大値X=3のとき
考えるのめんどいので余事象で
P(3)=1-P(1)-P(2)-P(4)
= 1 - 1/4^n - (1/3*2^(2n) - 1/3)/4^n - (2^(2n-1)-2^(n-1))/4^n
= 1/4^n*(2^(2n) - 1 -1/3*2^(2n) + 1/3 - 2^(2n-1) + 2^(n-1))
計算したくねえええええええええええ
0365１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 04:07:53
>>362
(1)
m(r) = (0*r + 1*(n-r))/n = (n-r)/n = 1 - r/n
V(r) = (n-r)(1 - m(r))^2/n + r(0 - m(r))^2/n
= 1/n*((n-r)r^2/n^2 + r((n-r)/n)^2)
= 1/n^3*(r^2(n-r) + r(n-r)^2) = 1/n^3*(nr^2-r^3+n^2r-2nr^2+r^3)
= 1/n^2*(nr-r^2) = r(n-r)/n^2
(2)
V(r) = r(n-r)/n^2 = 1/n^2*(-r^2+nr)
= 1/n^2*(-(r-n/2)^2+n^2/4)
n：偶数　のとき
r=n/2　で最大値　a = 1/4，　r=0,n　で　最小値　b=0
n：奇数　のとき
r=(n+1)/2,(n-1)/2　で　最大値　a=1/4*(1-1/n^2)
r=0,n で最小値　b=0
0366１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 06:52:48
>>364
なるほど、P（３）が一番出しにくいのか。

では、P（３）がめんどくさいということは
仮平均にあたる仮期待値を３として

３＋（－２）×P（１）＋（－１）×P（２）＋（０）×P（３）（＋１）×P（４）でP（３）を使わずにすませれば
少し楽になるのでは？
0367１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 06:54:17
３＋（－２）×P（１）＋（－１）×P（２）＋（０）×P（３）＋（＋１）×P（４）だった
0368１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 09:34:26
>>364　余事象より直接出した方が楽っぽい。

「n-1回、1または3が出続け、ただしオール1ではなく」
「かつ、最後の1回で3が出る」ならいいんだから
{(1/2)^(n-1)-(1/4)^(n-1)}*(1/4)
=(2^(n-1)-1)/4^n

でよさげに思えるけど。
0369１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 11:00:36
>>368
2で終わる場合が抜けている、そして途中で3が出れば3で終わる必要も無い
0370１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 12:43:35
P(3)を直接だそうとするとすんげーめんどそうなので余事象でいっかってやったけど
真面目に考えるなら
k(2≦k≦n)回目で2を引いて終わるとき
k-1回目までに少なくとも1回は３を引きかつ残りは１あるいは３を引く
C[k-1,1]*(1/4)*(2/4)^(k-2) * (1/4)
Σ[k=2,n]C[k-1,1]*(1/4)*(2/4)^(k-2) * (1/4)
= (-n+2^n-1)*2^(-n-2)
また一度も2,4を引かずn回中少なくとも1回3をひくとき
C[k=n,1]*(1/4)*(2/4)*^(n-1) = 2^(-n-1)
これらの和が
P(3) = (-n+2^n-1)*2^(-n-2) + 2^(-n-1)
= 1/2^(2n)*(2^(n-1)+2^(n-2)*(-n+2^n-1))
= 2^(n-2)/2^(2n)*(2-n+2^n-1) = 2^(n-2)*(1+2^n-n)/4^n

あれ？ウルフラムさんに計算お願いしたら
>>364が間違ってる気がしてきた　もー考えたくない
0371１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 13:19:13
>>369　そのとーりだorz あきらめて余事象でやった。
6*4^n=Mとして
P(1)=1/4^n = 6/M
P(2)=(4^n - 1)/(3*4^n) = (2*4^n-2)/M
P(3)=(4^n + 3*2^n -4)/M
P(4)=(4^n - 2^n)/(2*4^n) = (3*4^n - 3*2^n)/M

n=1～3の時は検算できてる。
　
0372１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 13:46:51
200,000の物を売った時に手数料(5%)が発生し、手取りが190,000になるとします

この関係から、最終解から手数料を引いた数が200,000になる値を求める式はどのように表せばよいですか？
値は210,526になると思うのですが、自分で試した結果

ステップ1
①　200,000 * 0.05
②　①の解 * 0.05
③　②の解 * 0.05
X　以降解が1未満になるまで繰り返し

ステップ2
①～Xの和 + 200,000 = 最終解

このようになりました
もっと簡潔に表す事はできるのでしょうか？
よろしくお願いします
0373１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 13:48:25
a,bを0以上の整数とする。
a[1]=a,a[2]=b
a[n+2]=|2*a[n+1]-a[n]|
で定まる数列{a[n]}において、a[m+1]=a[m]となる自然数ｍが存在するためのa,bの条件って分かりますか？
0374１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 14:22:05
>>372
200000÷0.95
で済む話だが
0375１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 14:25:31
>>330
間違い。
a + bi = 0 ⇔ a=b=0 は定理ではなくて定義。
0376１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 14:27:04
>>375
これはひどい
0377１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 14:39:24
>>374
マジだ、何余計な事考えてるんだ俺・・・
ありがとう
0378１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 14:43:42
>>375
これはひどい
0379１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 14:58:08
>>372のって偶然解求まっただけ？
それとも別の正攻法？みたいなんだろうか
0380１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 15:01:58
>>362　前半
この手の問題はマルコフ連鎖として考えるのが定石
途中の状態は次の５通り
Ａ　最大値１で続行中（開始時もこれとみなす）
Ｂ　最大値３で続行中
Ｃ　最大値２で終了
Ｄ　最大値３で終了
Ｅ　最大値４で終了

状態遷移の確率は
Ａ→Ａ1/4　　Ａ→Ｂ1/4　　Ａ→Ｃ1/4　　Ａ→Ｄ1/4　　
Ｂ→Ｂ1/2　　Ｂ→Ｄ1/4　　Ｂ→Ｅ1/4
その他、終了状態からは変化しない

すると、n回目の操作の後で状態Ａである確率は(1/4)^n
n回目の操作の後で状態Ｂである確率は、
初めのk回は状態Ａが連続して残りのn-k回は状態Ｂが連続すると分類・合計して
Σ[k=0→n](1/4)^k*(1/2)^(n-k)
他の状態である確率もこれらから容易に求められる。
0381１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 15:03:22
あ、ちょっと間違えた
Σ[k=0→n-1]
0382１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 15:14:30
>>379
等比数列の和の極限考えたら当たり前の話
0383１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 15:15:18
離散数学でやったなー　そんなの
たしかに状態遷移図書けば式立てやすいかもな
0384１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 16:46:55
>>376=>>378

痛いのはおまいの方
複素数の相等の定義も知らないのか？
0385１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 16:53:04
複素数の相等の定義とは違うな
0386１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 16:58:48
a＋bi＝0 の 「＝」って何？
0387１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 17:00:14
>>382
ごめん全然わからんわ
0388１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 17:14:15
複素数の定義の方法は一通りしかないものなの？
0389１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 17:34:21
確かに高校数学では定義を明確にしない(したがらない？)部分があるからねぇ。
どんな方法で複素数体を定義したのか分からなければ何が定義かは言えないわな、証明も出来ないけど。
0390１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 17:40:30
単に上から目線で物言いたいだけだろ。
俺は高校生の知らないことを知ってるぞってｗ
0391１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 17:41:12
相等の定義くらい書いてるだろ、流石に
0392実はトンズラ2010/09/17(金) 17:53:55
ﾈｯﾄで逃げ道を探しがたが見つからずﾄﾝﾂﾞﾗ
よくある光景だな
0393１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:05:04
第2次関数って最大値と最小値を求めとき以外にどんなときに出すんですか？
詳しく教えてください
0394１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:08:40
（´・ω・｀）？
0395１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:11:41
>>393
文章の意味が不明
0396１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:31:36
たとえばy=x^2/(x-1)の極値を求めよっていう、問題なら第2次関数まで求めないて無理ですよね
他にどういうときに求めるんですか？
0397１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:43:06
すまんが第二次関数ってのが聞き慣れないな
第２次微分係数あるいは第２次導関数のことを指してるのかな？
0398１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:44:09
はい
y"のことです
0399１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:45:32
でもy=x^3-x^2の極値ならy'0だけで、いいのにどういうときにy"まで求めるのか教えてください
0400１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:48:19
それって極値の定義が分かってないんじゃないかな
0401１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:49:49
f'(a)=0なるaのとき極値はf(a)ですよね？
0402１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:52:13
必ずそうなるわけではない 例えば　f(x) = x^3
これはf'(x) = 3x^2 だけど
x=0のときの値　すなわち　f(0)　は極値ではない
0403１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 18:53:10
f'(a)=0でもf(a)は極値とは限らないんだが
0404１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 19:12:18
先生にきくのでもういいです
0405１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 19:12:36
今の高校生の教科書で、一点でのみ定義される関数の
最大値、最小値はどうなってますか？

一点では存在しないという問題集があるのと、最大値＝最小値になるのはおかしい
というデムパが暴れ回ってこまってます。

私は、当然に、最小値も最大値も存在するし、一点のみですから、そこで一致した値を取るもの
と考えています。
0406１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 19:15:07
y'の正負がその点の前後で変われば極値になれる
またその点で微分可能で無くてもいい
たとえば f(x) = 1-|x|　　(-1≦x≦1)
って関数は x=0 で微分不可だけど x=0 で極大値 1 をとる
0407１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 19:22:08
>>404
なら最初から質問すんなやカス
0408１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 19:30:27
404 Not Found
0409１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:10:28
ちょっとだけ笑った
0410１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:33:33
>>405
高校の教科書がどうだかは知らないが、一点でのみ定義される実数値関数は
当然その点での値が最大値であり最小値である。

てか一点のみで定義される関数でなくても、たとえばf(x)=4という実数全体で定義される関数の最大値は4、最小値は4だ。
0411１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:34:45
一点のみで定義される関数は、その点において連続、といえますか？
0412１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:36:57
関数とはいかに？
0413１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:40:07
>>411
いえる。
0414１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:42:24
連続の定義満たすからおｋじゃね >>411
0415１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:46:23
1点しか無いときに極限値ってのがイメージしにくいなｗ
0416１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:50:36
1点集合には離散位相しか入らない。
0417１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:51:09
まぁそんなカタワみたいな関数何の役にも立たんからどうでもいい
0418１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:52:05
>>411
言えないだろ
それだとf(x)=1(x≠0) ,0(x=0)
もx=0で連続ってことになる

>>414
連続の定義をどのように考えてる？
ε-δをどう適用する？
0419１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:53:56
>>418
そのf(x)自体は1点だけで定義されている関数ではない。
そのf(x)を1点x=0に制限した関数はただのf(x)=0だ。
定義域を1点に限った時点で他の点は関係ない。
0420１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 20:56:20
>連続の定義をどのように考えてる？

開集合の逆像が開集合
0421１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:22:10
次のしきを簡単にせよhttp://imepita.jp/20100917/768490　　　　　　　　　　
わからないんでよろしくっす
0422１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:23:37
次の定積分を求めよ

∫[0,1] (1-x^2)^100 dx

誰かわかる方いませんか?
0423１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:23:46
そのくらいの計算したら？ただの引き算やん
0424１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:26:50
>>421
-(1+x)xじゃね？
0425１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:27:17
(((1-x^2)^101)/202)'=(1-x^2)^100
04264252010/09/17(金) 21:28:25
ごめん嘘かいた
0427１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:29:30
424
途中の計算もかいて
0428１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:30:16
>>422
maximaさんにやらすと次の値ヲ吐いた。
200867255532373784442745261542645325315275374222849104412672/2275031430734594939280779949071789617346927815594760088138165

>>421
右下から順に通分していくだけ
0429１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:30:40
>>427
こつこつやるだけ。
0430１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:31:06
次の式の値をもとめよ
cos10°+cos110°+cos230°

お願いします
0431１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:31:10
428
だから途中の計算は…
0432１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:32:49
429
1-1/1+xが計算できない
0433１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:33:48
ゆとりってなんでこんなに偉そうなんだ
0434１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:34:30
>>430
cos(10度)+cos(110度)+cos(230度) でぐぐれ
0435１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:34:36
>>432
1-1/(1+x)=(1+x)/(1+x)-1/(1+x)=x/(1+x)
0436１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:38:55
435
わかった
0437１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:39:53
>>434
いいのがヒットしないのですが・・・
0438１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:40:38
>>421　ほら、答えだ。どうせ途中とか理解できんだろ？

-x(x+1)
0439１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:41:04
cos10 + cos110 + cos230　でぐぐれ
0440１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:42:20
>>436
自分だけアンカーの付け方が違うのは変だとは思わないのか？
0441１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:42:46
>>430
cos(90ﾟ+θ)=-sin(θ)
cos(180ﾟ+θ)=-cos(θ)
0442１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:43:34
>>439
ヒットしました
誘導ありがとうございました
後ググらずレスしてすいませんでした
0443１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:44:00
>>430
cos110゜=cos(120゜-10゜)
cos230゜=cos(240゜-10゜)
に加法定理適用すればいいんちゃうか
0444１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:44:29
438
え もう解けたんで…
0445１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:45:34
ゆとりのふりした新手の釣りはどうでもいいから、1点集合上の関数は連続じゃないって言ってた輩の反省文マダー（AA略）
0446１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:45:42
>>422
I[n]=∫[0,1] (1-x^2)^n dx 漸化式を解いてn=100を代入する。
0447１３２人目の素数さん2010/09/17(金) 21:49:27
>>446
無理。
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