高校生のための数学の質問スレPART272
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0001１３２人目の素数さん
2010/09/09(木) 23:20:07前スレ
高校生のための数学の質問スレPART271
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1282195051/
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・970くらいになったら次スレを立ててください。
・マルチ（マルチポスト）は放置されます。
0237１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 11:27:07変形するも何も、
>関数c(x) = {e^x +e^(-x)}/2
のxのところを kx に書き直せばいいだけやがな
0238１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 11:35:05ありがとうございます
0239１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 13:23:46a[1]=2,a[n](a[n+1])^2=a[n+1]+{2(n+2)/n(n+1)}
見たことがない形なので困っています
お願いします
0240１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 13:57:32試しにa[2]、a[3]を求めると？
0241１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:00:34a[n]は正、という仮定はないのかな？
a[2], a[3]を求めて、推測→帰納法という流れでどう？
0242241
2010/09/15(水) 14:02:100243１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:07:03この方法はできれば避けたほうがよい。
0244１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:08:400245１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:09:34一般的な解法を求めて解けないよりは
0246１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:10:190247１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:18:41解けりゃいい？
お前は数学の本質を理解していないようだな。
0248１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:20:220249１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 14:21:25偽インテリの考えるようなことだな
0250ゆうや ◆7PaVAaEDbs
2010/09/15(水) 16:55:28ちょっと難しい問題があったから教えて欲しい
1からnまでの数字が1つずつ書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、全部でn枚ある(n≧9)。このカードの中から5枚選ぶとき、カードに書かれた数字がどれも連続しないような確率をP(n)とする。
(1)P(12)を求めよ。
(2)P(n)を求めよ。
これ問題なんだけど(1)すら分からないんだ
n=9,10,11のときそれぞれ1,5,16通りになるのは分かったけど、n=12のときはちょっと多すぎて数えられない
どうすればいいの？他にもっといい方法があるかもなんだけど分かる人いませんか？
0251１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:01:56重複組み合わせ
0252ゆうや ◆7PaVAaEDbs
2010/09/15(水) 17:09:38ありがとう
でもどういうことかよく分からないからもう少しヒントをください
0253１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:17:15補集合
0254１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:17:460255１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:20:45n=10のとき、5通り……？
n=11のとき、16通り……？
0256ゆうや ◆7PaVAaEDbs
2010/09/15(水) 17:25:200257１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:26:260258１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:27:411,3,5,7,10
1,3,5,8,10
1,3,6,8,10
1,4,6,8,10
2,4,6,8,10
0259ゆうや ◆7PaVAaEDbs
2010/09/15(水) 17:27:542つだけ連続する選び方、3つだけ連続する選び方、4つだけ連続する選び方を引くんですよね？
これやってみたんだけどややこしすぎてリタイアしてしまった
>>255
違います？
0260１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:32:19n=10のときって6通りないか？
1、3、5、7、9
1、3、5、7、10
1、3、5、8、10
1、3、6、8、10
1、4、6、8、10
2、4、6、8、10
n=10のときだと、
□○△○△○△○△○□
というマスを考える。これらのマスから数字を入れるところを選ぶのだが、
まず、○と△を全て1つずつ選ぶ。これで9箇所。
そして、もう1箇所□と△から（合計6箇所から）選ぶ（※）。
例えば、一番左の△を選んだとすると、○△△○△○△○△○という10個のマスの並びが出来る。
ここへ左から順に1〜10の数字を入れ、○に入ったものを抽出する。この例だと1、4、6、8、10となる。
○の間には必ず最低一つは△があるので題意の選び方になる。
n=12なら、※のところで3箇所選べばいい。このとき、同じ△や□を選んでもよい（ここが重複組み合わせ）。
0261１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:35:00n-4枚のカードからa,b-1,c-2,d-3,e-4を選ぶと考える
多分これが簡単
0262１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 17:38:130264１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 18:22:44ちょうど理プラで見た。横国の過去問として掲載。紙面では、>>241の言うように
a[n]>0という条件付き、さらに(1)としてa[2]、a[3]を具体的に求めさせている。
模範解も数学的帰納法によるもののみ。
ってことで>>243の言うことは無視推奨。
0265１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 18:31:08お前は数字の本質を理解してからものを言え。
その問題集は捨てたほうがよい。
0266１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 18:37:50また既知外登場か。コテつけろ。
0267１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 18:39:56師匠と呼ばせて下さい
0268１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 19:34:220＜a≦1のとき,0≦x≦1において
放物線y=x^2-a^2とx軸および2直線x=0,x=1で
囲まれた部分の面積が最小になるように,定数aの値を定めよ。
という問題を解いています
この問題でクラフを書いて面積を作図した際に
a=1とa<1の場合があると思うんですが答えはa<1になっています
この場合a=1はa<1に含まれているからですか?
0269１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 19:35:260270１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 19:40:140271196
2010/09/15(水) 23:04:48つまり問題文から k が実数、式が実数解を持つ（＝xが実数）ということが分かるので
x^2 + 3x + 2 + (2x+k)i = 0 としたときに
x^2 + 3x + 2＝実数
2x + k＝実数
ということより
a + bi = 0 ⇔ a = b = 0
にのっとって実部虚部に分けて考えればいいということでしょうか？
0272１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:10:22n^2-4なら，因数分解ができて簡単なのですが，n^2+4は因数分解ができないので，どう考えたらよいか全く分かりません。
0273１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:11:42１つは【期待値】の問題なのですが
１つのサイコロを5回投げるとき、1の目が出る回数の期待値を求めよ
（答えは ６分の５ でした）
なんですが、教科書や参考書見ても経路が分かりません。
簡単に説明をして頂けますか？
2つ目は ３辺長さが決まってる場合に鋭角三角形か鈍角三角形か直角三角形のどれか？
でコレも求め方を教えて頂きたいです。
0274１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:12:16数学で質問があります。
An+1 - An =(-1/3) 累乗n-1
のAnの一般項はなんでしょうか、
また、解き方も出来ればお願いいたします。
0275１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:19:12受験板とマルチ
>>273
数Aだけで考えるか数C使っていいか書くべし。
数C既習なら「和の期待値は期待値の和と等しい」で終わる
(つまり、1回投げる時の期待値が1/6回だから、5回投げるならその5倍)
数Aで解くなら反復試行の定理からコツコツ式を立てる。
下は中学内容、または余弦定理から。最長の辺の対辺が直角あるいは鈍角になりうる。
0276１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:30:56An+1-Anは階差数列の一般項
0277１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:36:17(ax+by)＾n≦ax＾n+by＾n が成り立つことを示せ という問題で
n=1のとき成り立つ
n=kのとき成り立つとすると
(ax+by)＾k≦ax＾k+by＾k
両辺に(ax+by)をかけて
(ax+by)＾(k+1）≦(ax＾k+bx＾ｋ)(ax+by)
さらに
(ax＾(k+1))+(by＾(k+1))-(ax＾k+bx＾ｋ)(ax+by)
ここまで解いたのですが
整理して
ab(x-y)(x＾k-y＾k)≧0
の整理をどうやるかわかりません
よろしくおねがいします。
0278１３２人目の素数さん
2010/09/15(水) 23:53:58そこまで出来ているなら、あと一歩。
自然数kに対して、 関数 Y=X^k は X＞0の増加関数だから・・・
0279１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 00:01:520280１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 00:10:310281１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 00:24:38X^kはX＞0の増加関数だから、
x≧yならx^k≧y^ 即ち x-y≧0ならx^k-y^k≧0 だから (x-y)(x^k-y^k)≧0
同様に
x-y≦0ならx^k-y^k≦0 だから この場合も(x-y)(x^k-y^k)≧0
0282あ
2010/09/16(木) 00:54:43n^2+4型の素数が無限個存在するか?っていう問題は解決してるんだっけ?
0283１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 01:04:33nの一般形を求めよって問題なのかな
法則性なんかわからんけど
0285１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 01:11:200286１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 01:33:06「1から137までの奇数からなる数列がある。この数列に含まれる3の倍数、5の倍数、7の倍数、11の倍数
の個数を求めよ。」
という問題です。ceil()を小数点以下切り上げとして、
3の倍数： ceil(137/2 * 1/3) = ceil(22.8) = 23
5の倍数： ceil(137/2 * 1/5) = ceil(13.7) = 14
7の倍数： ceil(137/2 * 1/7) = ceil(9.7) = 10
11の倍数： ceil(137/2 * 1/11) = ceil(6.2) = 7
かなと思いましたが、最後の11の倍数が実際には、6個で、計算と合いません。
切り上げではなくて四捨五入だったりするのでしょうか？ その辺りの使い分け
が分かりません。
0287１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 01:46:48nの倍数： floor(137/n) - floor(137/2n)
0288１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 02:11:20これには、続きの問題があって、
「この数列で、3でも5でも7でも11でも割り切れない要素の個数を求めよ」
というものです。
余事象を考えれば良いのかなと、
ceil(137/2 * (1 - 1/3) * (1 - 1/5) * (1 - 1/7) * (1/11)) = ceil(28.4) = 29
としました。答えはこれで合っているようですが、これも「たまたま」当たった
だけで、ほんとは、floorを組み合わせた引き算とかになるのでしょうか。
ひとつの式で、簡潔に書けたら良いなとは思いますが。
0289１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 02:13:12ceil(137/2 * (1 - 1/3) * (1 - 1/5) * (1 - 1/7) * (1 - 1/11)) = ceil(28.4) = 29
です。
0290１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 02:43:120291１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 03:03:32>>271の考えでよい。
0292１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 10:49:370293１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 10:52:37右辺は {(a+1)-a}/a(a+1) だろ。この分子 (a+1)-a が 1 になることが分からないのかい？
0294１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:05:27>>1
>・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
> 1/a(a+1)=(a+1)-a/a(a+1)
これは 1÷a×(a+1)=(a+1)-a÷a×(a+1) という式。
0295１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:05:51どっか基礎ぬけてるんだと思うんですけど
0296１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:24:33が分からないのか。引き算って知ってる？
0297１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:27:25x^2+y^2<1
logx+y(x^2+y^2)<=logx^2+y^2(x+y)
これらを同時に満たす領域をＳとするとき、m,nは自然数とするとき
(1/m,-1/n)と表される点が無限に多く含まれることを示しなさい。
全く方針が立たないんですが、どうすればいいでしょうか？
ちなみに3つ目の左辺の底はx+y、右辺の底はx^2+y^2 になります。
0298１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:30:08こんなことにも気付かないなんて・・・
0299どんくさい学者の妄説信者へ
2010/09/16(木) 11:34:03暴走族は神風特攻隊の霊が憑依して、暴走を行わせているのである。日本の
為に、子孫の為に命を捧げたのに感謝される処か、侵略者の汚名を着せて狂信
者扱いで侮辱している。それに怒って、鬱憤を晴らそうと爆音を響かせて、我
々の安眠を妨げて嫌がらせをしているのである。それが証拠に、暴走族は特攻
服を着て、命知らずの爆走をしている。
秋葉原で起きた無差別殺傷事件等も神風特攻隊の霊障である。本人は死ぬ気
になって、たとえ死刑になってもいいから、人を道づれにして殺そうとする。
神風特攻隊の霊が発狂してしまうほど、日本人の精神が堕落して、性根の腐っ
た人非人(ひとでなし)になっている。
金と学に支配されて、正義も人情も捨てて、我さえよけりゃ後は知ったことじ
ゃない。
こうして私が神意を伝えようとしても、誰も真剣に耳を貸そうとはしない。
情けないことではあるが、人間としての価値を失い、その資格を失っているの
である。
元神は三千世界(神、幽、現界)を大改革するべく、建て替えを断行する。こ
の世の鬼(ひとでなし)を退治して草木に替える。もう今までの様に敗者復活は
ないのである。1日でも早く、神の御旨に沿うよう(不殺生、不偸盗、不姦淫、
不妄語、不贅沢)改心して、神の大恩に報いる生活に改めなくては人間として生
きる価値がないのである。
0300１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:36:03第三式は、コケオドシ的な条件だなぁ。
一旦 log_{x+y} (x^2+y^2) ＝ T とでもおいて、Tの不等式を作ってみ。
（log_{a} b = 1/(log_{b} a) に注意して）
>>298 どんまい
0301１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:45:55約分したら(a+1)-a/a(a+1)=-a/a=-1になりませんかね？
1aは赤でスラスラできたのに・・・
0302297
2010/09/16(木) 11:47:22返信ありがとうございます。
3つ目は、対数を使っていますが、結果的に
x^2+y^2>=x+y
となります。
このあとが全く分からないのです。
0303１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:50:40だから分子は括弧つけて、どこまで分数罫がかかるのか分かるようにしろって。
(A-B)/(AB) = A/(AB) - B/(AB) = 1/B - 1/A
は分かるか。これと同じことをやってる。
0304１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 11:54:06把握した
次どっかでひっかかったら素直に黄色買ってくるわ
0305１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 12:10:49領域Sは把握できてるのね。
題意の証明には、具体的な点列を提示するのがよさげかな。
例えば (1/m, -1/(m+1)) は m≧2 においてすべてSに入りそう。
0306１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:05:01いま、Aのx座標をsとするとき、次の問いに答えよ。
(１)辺ADの長さをsで表せ。
(２)辺ABの長さをsで表せ。
(３)超包茎ABCDの周の長さが最大になる時のsを求めよ。
また、その時の周の長さはいくらか。
計算過程と答を教えてくださぃ
0307１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:07:05というか、おまえの辞書どうなっとんの？
0308１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:10:540309１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:12:18宿題は自分でやれ。
0310１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:19:44(1) AD = 2*(5-s)
(2) AB = f(s) = 10s-s^2 = s*(10-s)
(3) 周の長さ= 2*AB + 2*AD = 2*s*(10-s) + 4*(5-s)
= -2*s^2 + 16*s + 20 = -2*(s-4)^2 + 52
0<s<5 なので s=4で最大値は52
0311１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:28:500312１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:30:20右辺をa^xと1/log_{a}に分けて積の公式で計算しましたが
a^x{(a+(1/log_{a})}になって左辺の形になりませんでした
0313１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:31:40嬉しくて仕方ないんだろう。
0314１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 15:33:17右辺を微分して左辺の積分記号の中の式を導け
0315288
2010/09/16(木) 18:01:40簡単には行かないということですかねぇ。
3,5,7,11の4つの組み合わせを考えるだけでも頭が痛く
なってきます。
0316１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 19:42:04４つのベン図も描けないやつが包除原理？
0317１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 20:03:29Q、箱Aから玉を２個とって、それを箱Bに入れた後良くかき混ぜて
箱Bから２個取り出すときそれらがともに赤玉である確率
という問題で、答えは61/225になるらしいんですが、計算過程が
わかりません。教えてください。
0318１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 20:07:45A→Bが赤赤、赤白、白白で場合分け
0319１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 20:09:19(ii)Aから白１個赤１個取り，かつB赤３個白3個から赤玉２個とる確率
(iii)Aから赤2個取り，かつB赤4個白2個から赤玉2個とる確率
これらの和
0320１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 20:17:39P(x)を(x-1)(x-2)(x-3)・・・(x-n+1)(x-n)で割った余りはいくらか？
って問題で余りをR(x)とおいて、いきなり
R(x)=(x-1)(x-2)(x-3)・・・(x-n+1)(x-n)Q(x)+xとおいて大丈夫ですか？
0321１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 20:22:19> P(x)を(x-k)で割った余りをkとする。
kの条件は？
0322１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 21:01:000323１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 21:04:37察するに・・・
nを自然数とする。
k=1, 2, ・・・, n に対して、P(x) を x-k で割った余りをkとする。
となっているんじゃないかと。
0324１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 21:11:25返事おくれました
ありがとうございました！
0325１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 21:40:53どうも有り難うございます！
因みにこれも質問したいんですが、
a + bi = 0 ⇔ a = b = 0
は何故 a、b が実数でなければならないのですか？
0326１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 21:42:47例えば
a = 1 , b = i のとき a + bi = 0 だろうが。
0327288
2010/09/16(木) 22:03:07これって、調べたい数が増えていくと、とても複雑に
なりそうです。そこまでは考えないことにします。
0328１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 22:06:36いい質問だ。えろい人教えて！
0329１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 22:12:59>>326で反例が出てるから、質問は偽
0330325
2010/09/16(木) 22:30:24おおなるほど！
虚数も含めた範囲でなくあくまで実数のみの範囲で考えたら
a + bi = 0を満たすのは a=b=0 しかありえないので、
a + bi = 0 といえる時 a、b がともに実数ならば a=b=0 になるということですね
0331１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 22:31:52数直線上を動く点Pがある。
一定時間ごとに、3/4の確率で正の方向に2、1/4の確率で負の方向に1進む。
この動きが6回行われた時、点Pはどこにあるか。最も高い確率の場所を示せ。
という問題です。
パッと見、3/4の確率が6回行われる12が答えかな、と思いましたが、とりあえずパターンを挙げると
3/4の確率の動き(+2)をA,1/4の確率の動き(-1)をBとすると
6A=12 5A+B=9 4A+2B=6 3A+3B=3 2A+4B=0 A+5B=-3 6B=-6
全部で7通りあるのですが、これら全ての確率を計算して比較、というやり方は無しとの指摘をされたので
それ以外の方法での解き方が知りたいのですが、全く思いつきません。
どうすれば確率を求めることなく比較できますか?
0332１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 22:39:07実数体Rにx^2+1の根を添加して、、、とかを期待した。場違いですた
0333１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 22:51:010334１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 22:56:146*2*3/4+6*(-1)*1/4=18/4=4.5
4と5がもっとも高いんじゃないかな
0335１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 23:00:38確率を計算する式だけを立ててそれらを見比べるってのはダメ？
0336１３２人目の素数さん
2010/09/16(木) 23:06:423/4の方がr回起きる確率をp_rとする（0≦r≦6)
p_0<p_1は明らかなので1≦r≦6で検討
4^6*p_r=C[6,r]*3^r だから、
p_r/p_[r-1]=C[6,r]*3/C[6,r-1]
=(r-1)!(7-r)!*3/r!(6-r)! = 3(7-r)/r=(21/r)-3
これはｒの減少関数で、
r=5で21/5-3>1だからp_5/p_4>1よりp_5>p_4
r=6で21/6-3<1だからp_6/p_5<1よりp_6<p_5
よって3/4のほうが5回起きる時が確率最大。
「すべての確率」は計算してないよ、ということで、結構いろんな問題集/参考書に乗ってる手法。
これでやらせるなら20回とかにしないと面白くないね。
>>334 は計算ミスってるし、正しい計算をしても、期待値30/4=7.5が直接に結果と結びつかない。
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