と思ったらかけた！！

今高一で知識が足りないのも多いかもしれませんが疑問に思ったことがあります。
x-4=0という方程式を解けと言われた際、
すなおにx=4という解を出さず、両辺にx(両辺に同じ数)をかけてx^2-4x=0という式に変形させてから解を求めると
x=0,4の二つが出てしまいますが、これも解としてみなされるべきではないのでしょうか。

自分の考えは、方程式において両辺に0をかけてはいけない、というものがあるらしいので
(学校では習ったことがないのですが)、
両辺にxをかける際、そのxは0であってはいけないため、変形後の式から解が0となるものは除く必要がある。
というものです。
これが正しい答えなのでしょうか。