置換積分で例えば
∫(3x^2+1)/√(x^3+x)dx
を求めるとき
t=x^3+xとおくとします
このとき
dt=(3x^2+1)dx
になります

疑問に思ったことは
置換積分習いたての頃は
x=・・・の形に直して
∫・・・dx=∫・・・(dx/dt)dt
とやりましたよね？
上の例のやり方を解答で書くのは本当はまずいんですか？

あと
t=x^3+xからdt=(3x^2+1)dxを求める際
t=x^3+xの左辺をtで微分してdtをつけ、右辺をxで微分してdxをつけてるんですが
これは理論的に間違いですか？
もし正解なら
t=x^3+x
↓
☆
↓
dt=(3x^2+1)dx
の☆にどういう式をつけ加えればいいですか？