代数学・幾何学・解析学スレッド
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
2010/09/09(木) 23:01:34代数学と幾何学と解析学の話題をここでしよう
0232１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 01:57:200233１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 05:11:540234必殺極悪人
2010/10/29(金) 05:12:470235１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 08:05:280236１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 08:14:330237１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 10:43:59天才乙
0238１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 11:48:040239猫は無駄 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/29(金) 11:53:21猫
0240１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 16:58:25迷惑感情を持たれない程度に食い下がって必死に付いて行き､
やがては対等に論議できる様に努力するべきだな｡
猫は閉鎖的売国奴、つまり、猫は最悪｡
0241猫は無駄 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/29(金) 20:24:57そういう誤解をされても困りますね。『レベルが低い人はレベルを上げてから
参加しなさい』という意味ですけどね、でも『誤解をスルのも貴方の勝手』で
すからね。だからお好きにどうぞ、私は貴方みたいな人は徹底的に攻撃スルだ
けですから。そもそも貴方みたいに議論が全く成立しない連中ばかりだから私
は何も気にはしてません。
まあでも私を『閉鎖的な売国奴』という記述があった事は鮮明に記憶に留めて
おきます。貴方とは今後何年にも亘って戦いが続くんでしょうね。
猫
0242１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 20:28:52氏んで下さい
0243猫は無駄 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/29(金) 20:58:30そもそもはアンタ達が騒ぐから「こういう展開」になったんですね。だからもう
後悔しても遅いですね。つまり諦めるしか他にアンタ達には選択肢がアリマセン。
猫
0244１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:12:590245１３２人目の素数さん
2010/10/29(金) 22:23:090246１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 02:27:11代数、幾何、解析が交わる面白い分野といったらどこですか？
0247猫は痴漢 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/30(土) 02:38:09猫
0248１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 04:08:020249猫は痴漢 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/30(土) 08:50:11猫
0250１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:37:02でx=rcosθ,y=rsinθのとき
って○+1/r∂z/∂r+○＝〜〜〜って関係があるんだけど
これってrの変わりにθでも
△+1/θ∂z/∂θ+△=〜〜〜って関係にもなるの？
x=rcosθ、y=rsinθの時に限るの？
0251１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:38:50教科書読め
0252１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 17:44:25いやいや教科書にのっているとかじゃなくて、何で連鎖律とか∇の事を
極座標で考えるの？一般的にz=f(x,y,z・・・)のとき
x,y,z=g(t1・・・・tl)のとき
△+1/θ∂z/∂θ+△=〜〜〜みたいな関係ってどこにあるんですか？
0253１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 19:06:32＞○+1/r∂z/∂r+○＝〜〜〜
って何？○が二回出てくるのはなぜ？
0254１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 19:11:15普通にただ計算すればいいだけのことをいちいち訊くな
0255１３２人目の素数さん
2010/10/30(土) 19:17:42「するんだよ」
0256１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 02:04:12シュレーディンガー方程式なんかに使うからしょうがないけど
0257１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 12:45:070258１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 16:58:35http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/trifuncCombine/
のこと？
0259１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 18:39:48普通に１回微分と２回微分っていう説明でいいじゃん
0260ウザい猫 ◆MuKUnGPXAY
2010/10/31(日) 18:43:050261１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 18:43:30必要ないなら考えなくてもいいよ。
0262１３２人目の素数さん
2010/10/31(日) 18:53:00そうそう、普通はxy平面で三角関数の加法定理の応用として考えるけど
オイラーの公式exp(iθ)=cosθ+isinθの左辺も複素平面でやれば
√(1+i)sin(θ+π/4)=√2sin(θ+π/4)
ってなってまるっきり同じことができそうだけども
こんなんじゃあ整合性とれないよなぁ
0263１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:03:34と
df=f(∂/∂x)dx+f(∂/∂y)dyなんですか？
例えば円の面積Sで半径r、円周aとします
微少変化dr,daとすると,(r,a)のときπ=a/2rより
dS=((r+dr)^2)・(a+da/2(r+dr))-r^2・a/2rとなりますよね？
この場合
dS=S(∂/∂r)・dr+S(∂/∂a)・daの関係になりますか？
0264１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:13:320265１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:28:28kwsk
0266１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:30:540267１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:31:46円の面積は半径のみで決まるからならない。
0268１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:47:41すまん
6f/6xって意味です・・・
0269１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 00:58:53お願いします…
0270猫は妖怪 ◆MuKUnGPXAY
2010/11/02(火) 02:05:08猫
-------------------------------------------------------
319 名前：ウザい猫 ◆MuKUnGPXAY ：2010/11/01(月) 23:59:31
ワシはアンタ達を許すという考え方は微塵もアリマセン。なので徹底してココ
に居座らせて戴きますから思いっきり嫌な思いをして下さいませ。ソレが無記
名で名誉棄損や誹謗中傷、はたまた他人のプライバシーを無責任に喰い荒した
報いというモノですワ。
猫
0271１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 04:35:34最後まで2chに付き合ってやるわｳﾞｫｹﾞってことですか
0272猫は妖怪 ◆MuKUnGPXAY
2010/11/02(火) 10:26:43アンタは誤解してるワ。そういう事じゃないのや。ワシのプライバシーなんて
まあ自分でワザと小出しにしたっちゅうんもあってや、「釣りの餌」としては
結構巧く機能したのは見てて判ったやろ。そやから馬鹿共が仰山釣れたのや。
そやけどワシみたいに反撃せえへん無抵抗な人達のプライバシーをアンタ等は
思いっきり喰い物にしたやろ。そやからワシがアンタ等に報いてんのや。
まあ「頭が悪い」から理解が出来へんのやろけどナ。
猫
0274１３２人目の素数さん
2010/11/02(火) 15:42:44撒餌を食われて不愉快ということか
0275猫が威張る ◆MuKUnGPXAY
2010/11/02(火) 18:53:43そうではなくて「どういう順番でどういう餌を撒くか」を当初から考えながら
書き込みましたね。カミングアウトもかなり上手く行きましたしね。
猫
0276１３２人目の素数さん
2010/11/09(火) 23:26:50h(x) はm次の多項式とする。非負整数kに対して
f(h(x)) = h(f(x)),
を満たす m^k 次の多項式f(x)が存在することを示せ。
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1136720573/73-76
casphy - 高校数学 - P(x)
0277１３２人目の素数さん
2010/11/13(土) 07:37:510278１３２人目の素数さん
2010/11/16(火) 10:56:450279１３２人目の素数さん
2010/11/20(土) 10:22:432変数関数
F(x,y)=e^(y-x)-sin(xy)-1において
G={(x,f(x);|x|<1/2,|y|<1}では
y=f(x)がただ一つ存在するそうなんですが
何ですか？y=f(x)がわかりません。
0280１３２人目の素数さん
2010/11/21(日) 14:13:140281１３２人目の素数さん
2010/11/30(火) 19:27:13これってどこが面白いの？
産業で教えて
0282１３２人目の素数さん
2010/11/30(火) 19:30:30ん
こ
0283１３２人目の素数さん
2010/11/30(火) 19:55:19その二つはただの道具
0284１３２人目の素数さん
2010/11/30(火) 23:15:500285１３２人目の素数さん
2010/12/01(水) 04:00:190286猫が湧く板 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/01(水) 06:16:09猫
0287１３２人目の素数さん
2010/12/01(水) 17:55:38でも線型代数の研究をしてる人もいるよね。
未解決問題が沢山あるけど。
ただの道具とは言い切れないのでは？
0288１３２人目の素数さん
2010/12/01(水) 22:48:17たとえばf∈L^p(0,1)なら ∫[0,s] |f| はどれくらいのペースで0に収束すると言えるんだか
0289１３２人目の素数さん
2010/12/01(水) 22:54:060290281
2010/12/02(木) 02:28:29教えてエロイヒチオ！
0291１３２人目の素数さん
2010/12/02(木) 03:01:540292１３２人目の素数さん
2010/12/02(木) 17:20:21数学の研究をしていても、専門外の数学はただの道具。
0293猫が湧く板 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/03(金) 00:47:13道具かを区別しないほうが格段に面白いと私は思いますね。何かをヤル時に道
具を開発スルのも研究のうち。
猫
0294１３２人目の素数さん
2010/12/03(金) 03:50:25ITA!
0295１３２人目の素数さん
2010/12/03(金) 04:15:490296１３２人目の素数さん
2010/12/08(水) 03:27:21limsup(x→0) ∫_(0,x)f(t)dt / (xf(x)) = ∞ となるような関数はある？
0297１３２人目の素数さん
2010/12/08(水) 21:56:36http://momotaro.boy.jp/html/narahennsati.html
0298１３２人目の素数さん
2010/12/09(木) 20:40:39存在しない
0299猫は基地外 ◆ghclfYsc82
2010/12/09(木) 21:30:290300猫は痴漢 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/09(木) 21:41:12猫
0301１３２人目の素数さん
2010/12/10(金) 21:44:070302猫の慈円うぜえ ◆MuKUnGPXAY
2010/12/11(土) 03:39:33なので今の病気は金欠病。クスリはアラヘンけどナ、既に国がその病気やさかいナ。
猫
0303１３２人目の素数さん
2010/12/20(月) 23:01:02ちなみに、数学的落書き紹介動画シリーズ「Doodling in Math Class」をご紹介。
http://www.frablo.jp/2010/12/07/doodling-in-math-class/
0304１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 09:59:120305１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:08:53行列のn乗の有効利用としてのペル方程式の整数解を全て求められるはなぜでしょうか？
例えば具体的には x^2-3y^2=1 というペル方程式を満たし
連続する三つの整数解より
(2,-1)→(1,0)→(2,1) ⇒ A(2,-1)=(1,0),A(1,0)=(2,1)
これよりある二次正方行列Aを求め,ある整数解にこの一次変換を作用させると
次の整数解が得られることに着目して,A^nを求め
一般解(x_n,y_n)=A^n(2,±1)(n:自然数)を得る
実際に代入してみると当てずっぽうでは得られないような解も簡単に得られ
この不定方程式を確かに満たすようです。
非常にエレガントに行列が応用されているように感じるのですが
なぜ行列が出てくるのかの原理的な部分や解が網羅される理由等まったくわかりせん
色々やってみて今わかったことは
・行列の表す一次変換に対して満たすべき不定方程式である双曲線は一種の不動曲線
・行列の導出に使う三つの整数解は曲線上で隣接・連続していなければならない
ぐらいです…
詳しいことを知っている方がいらっしゃれば原理等お願いします
0306１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:15:47曲線を保つ一次変換を考えてるだけじゃねーの？
0307１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:32:10それはなんとなく分かります
ある解に一次変換を作用させて得られたものも解となっているのは
その点を通る曲線を一定に保つような一次変換なので当然なのですが
(x,y)A=(x',y')としたときの(x,y)と(x',y')の間には
整数解は存在しない(実際にやってみるとそうなる)ということが
説明できないように思うのですが…
0308１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:35:160309１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:46:57行列のn乗では表現できない解(解とその変換の解の間の解)
があっても問題ないってことですか？
0310１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:49:500311１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:52:33えっと、一体その解はどうやって求めたらいいのでしょうか？
0312１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:56:100313１３２人目の素数さん
2010/12/21(火) 23:57:24そもそも種にする最初の解はどうやって求めたの？
0314１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 00:07:31では(1,0)は必ず自明な解として存在するので後は地味にxを増やしていって
当てはまるyを気合で求める、その解を(α,β)とするとx軸対称だから
(α,-β)も解になるのである一次変換Aで(α,-β)→(1,0)→(α,β)
要するに(1,0)の次の解だけは自力で探さなないとだめそうです
0315１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 00:52:27Pell方程式の解(x,y)のが決まると必然的に解は(a,±b)の形で表わされる。
勿論、(1,0)も解になる。
そして、任意の解(a,±b)に対して
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)
を満たす行列Aは唯1つ存在する。
このとき、A^2(a,-b)=A(1,0)=(a,b)が成り立つ。
つまり、任意の自然数nに対して
A^{n+2}(a,-b)=A^{n+1}(1,0)=A^n(a,b)
が成り立つ。よって
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
は解になっている。一方、
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)
を満たす正方行列Aが存在するとした時点で解(a,±b)は存在してる。
まとめると、解(a,±b)全体と
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式、
を満たすような正方行列Aとの間には全単射が存在するから、
例として挙げたような一般解(a,±b)が正方行列Aを用いて求められる。
そして、一般解は1つ解(a,±b)を固定すると
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
のように表わされる。
0316１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 01:00:04>A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式、
は
A(a,-b)=(1,0)、A(1,0)=(a,b)、(a,±b)はPell方程式「の解」、
の間違い。
0317１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 01:25:56詳細な説明ありがとうございます
行列のn乗を使った一般解が当然Pell方程式を満足することは分かりました
ちなみにPell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
を示すにはどうしたらよいでしょうか？
それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…
0318１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 01:34:360319１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 01:44:11二次不定方程式なのにトーラスが出てくるとは…
詳細は分からないですがこの問題も奥深いですね…
0320１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 02:22:070321１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 03:27:42>Pell方程式を満たす全ての整数解が他に存在しないこと
は次のようにして示せる。
1つ解(a,±b)を固定して定まる一般解
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の他に解(c,±d)が存在したとする。
すると解(c,±d)に対して或る正方行列Bが存在して一般解
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
が構成される。このとき、(a,b)に対して或る自然数mが存在して
(a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。よって一般解は
A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列について、
任意の自然数nに対してA^nB^m=B^nが成り立つ。
つまり、n=mとすればA^mB^m=B^mであって、
Bは正則行列だから、A^m=Iとなる。
同じくAも正則だから、Aは一般線型群GL(2,R)に属し、A^m∊GL(2,R)。
従ってA=Iであって、B^m=I∊GL(2,R)から
(a,b)=B^m(c,d)=(c,d)が得られて矛盾。
0322１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 04:07:35>それとここで求めた行列の意味は、Pell方程式の表す図形を変形しない以外に何か意味があるのでしょうか
>たとえば、基底ベクトルを変形させてできるその斜交座標にある意味、この行列を相似変換・回転行列とした時の意味等とか…
これは複素平面上でPell方程式を考えないと意味がないと思うが、
そうするとPell方程式の解(x,y)が複素数解になって、
正方行列Aは一般線型群GL(2;C)に属することになるが、
単にA∊GL(2;C)っていうことだけだとAに特別な意味はないと思う。
ただ、解である基底ベクトル(a,±b)の間に
片方が他の片方に対する正則行列の作用によって表わせるということはいえる。
あと、相似変換っていうのは行列に対するスカラー積の作用のことをいっていると思うが、
解が
A^n(a,b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
の形で表わされる以上、それに意味はないと思う。
0323猫は悪魔 ◆MuKUnGPXAY
2010/12/22(水) 11:28:330324１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 16:45:23>>321の
>(a,b)=B^m(c,d)が成り立つ。よって一般解は
>A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
>と表わされて、…
このあたり、ギャップがあるというか、間違いがあるから、次のように訂正：
よって一般解は
A^nB^m(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(a,-b)
または
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列Bについて、或る自然数kが存在して(a,-b)=B^k(c,d)、が成り立つ。
このとき(a,-b)≠(c,d)だからB^kは正則行列で、(c,d)=B^{-k}(a,-b)。
従って一般解は
A^nB^{n-k}(a,-b)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
一方、(a,-b)及び(c,d)に対して或る自然数iが存在して(a,-b)=B^i(c,d)が成り立つ。
従って、一般解は
A^nB^{n-k+i}(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。この形と
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
の形で一般解は表わされるから、正方行列A、Bは正則であることに注意すれば、
任意の自然数aに対して或る自然数bが存在して、A^aB^{a-k+i}=B^b。
逆に、任意の自然数bに対して或る自然数aが存在して、A^aB^{a-k+i}=B^b。
つまり、A^aB^{a-k+i}=B^bを満たす自然数a、bの間には全単射が存在する。
a、bを共に非負整数としても同様。
一方、任意の整数a、bに対して、A^aB^{a-k+i}、B^b∊GL(2;R)。
従ってb=|-k+i|に対して定まる自然数aについて、A^aB^a=(AB)^a=Iからa=0。
そして、この自然数bについてb=-k+i≧0であって、このときb=-k+i=0。
故にk=iが得られて、一般解は
A^nB^n(c,d)、自然数nは任意、A(a,-b)=(1,0)、(c,-d)
の形で表わされる。
0325１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 16:47:09よって一般解は
A^nB^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
つまり
B^n(c,d)、自然数nは任意、B(c,-d)=(1,0)、(c,-d)
と表わされて、正方行列について、
任意の自然数nに対してA^nB^n=B^nが成り立つ。
このとき、Bは正則行列だから、A^n=Iとなる。
同じくAも正則だから、Aは一般線型群GL(2,R)に属し、A^n∊GL(2,R)、nは任意。
従ってA=Iであって、一般解が(a,b)に限られて有限個存在することになり矛盾。
あとの細かいギャップ埋めは紙の上でして下さい。
0326１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:13:200327１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 17:42:45読む気が起こらない。
0328１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 18:38:37>>324をまとめると、要は
A^aB^{a-k+i}=B^bを満たす自然数a、bの間には全単射が存在する。
a、bを共に負整数としても同様で、
A^aB^{a+k-i}=B^bを満たす負整数a、bの間には全単射が存在する。
これを示すことが重要ってことだ。
あとはk>i、k<i、k=iと場合分けするようにして考えればいい。
0329１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 18:50:46のはなんで？
0330１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 18:55:28(a,±b)と(c,±d)は異なる解と仮定しているんだから、
これが成り立つと仮定しても一般性を失わないだろ。
0331１３２人目の素数さん
2010/12/22(水) 18:59:56■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています