「問題」とは少し違うのですが・・・
三角関数の積分法についてs=2tan(t/2)という置換積分をすればすべて有理関数に帰着できることの幾何学的説明を探しています。

幾何学的にこの置換は
　「単位円上の点Pに向かって(-1,0)から引いた直線のx=1におけるy座標」
をsとおいて(sint,cost)とsを関連付けているということが調べていて分かったのですが
この置換によってなぜ有理関数に帰着できるのか、という根本的な説明はありませんでした

たしかに、この置換でcostもsintも(d/ds){2Arctan(s/2)}もsの有理式になるので確実に有理式に帰着できるとは思うのですが
それは三角関数で構成される関数がこの置換によって”なぜ”うまくいくのかという説明にはなっていないのではないでしょうか
それとも、この置換は本当になんとなくこうやればうまくいくというマジックみたいなものなのでしょうか