解き方を教えてください.

αは0<α<1を満たす.
任意の自然数nに対して,
2^(n-1)・αの整数部分をanとし, 2^(n-1)・α = an + bnとおくと,
nが奇数のとき 0≦bn＜(1/2)
nが偶数のとき (1/2)<bn<1になるという.
anおよびαを求めよ

答え
nが奇数のとき an={2^(n-1)-1}/3
nが偶数のとき an=(2/3){2^(n-2)-1}
α=1/3