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>A_(n+1)=αA_n+f(n) (α≠1)の解き方

自分なら、nがたとえば2次式なら、
A_(n+1)-(p(n+1)^2+q(n+1)+r) = α(A_n -(pn^2+qn+r)）
と置いて、そこから
A_(n+1)= αA_n + (移行して整理したnの2次式、係数はpqrとαで表される) の形に変形、
係数比較でpqrを決定する　とするなぁ。
結果として目指す形は同じだけど、「適切なg(n)を見つける」のではなく
「この形になるはず」という結果を先取りしてそれが満たすべき条件を考える
(たまにこの形じゃダメだ、という結果になることもあるけど、その場合は方針を微修正して
再度試してみる)。「適切な〜を先に見つける」というのは、それこそ相当に賢い人じゃなきゃ
できないなぁ、というのが印象です。

今回の問題にしても、分母を払う前にせよ後にせよ、P_nやP_(n-1)にｎの式が
かかってしまうので、根本的に、「A_(n+1)=αA_n+f(n)」の形ではないですよ
(この形ではA_nなりA_(n+1)なりにかかっているのは定数であってnの式じゃない)。
そういう形では、(多分)今回そうしたように、数列にかかっているnの式を繰りこんだ形の
新しい数列を考えるしかない。

ちなみに a_1=1、a_n=(n/(n-1)) * a_(n-1) +n^2 なんて問題があって、
「くっつける」という方針で見て両辺nで割る、という着想が出る
( (a_n)/n =b_n　とすると b_n= b_(n-1)+n 、とあっけない答えが出てくる)。
このタイプの問題をどう指導されたのか、それに基づいて考えるところだと思います。

「見ただけでうまく持ち込める」なんてそんなことはないので、大方針を念頭に置きながら
試行錯誤する(その時に過去の類題の経験を生かす)してるだけです。この問題については
万人向けの解答方針って、前述の「予想して数学的帰納法」だろうとも考えます。