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分からない問題はここに書いてね３３１

レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
0001１３２人目の素数さん2010/04/28(水) 12:26:54
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね３３０
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1269099055/
0809１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:10:03
a,bを自然数とする、以下の問に答えよ。

（1）　abが3の倍数であるとき、aまたはbは3の倍数であることを示せ。

（2）　a + bとabがともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。

（3） a + bと　a²+b²がともに3の倍数であるとき、aとbはともに3の倍数であることを示せ。

お願いします。
教科書基本・教科書章末・標準・応用・発展でレベル分けしてください。

（1）標準
（2）標準
（3）応用
0810１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:11:54
>>808
死ね。
0811１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:16:13
>>809
死ね
0812１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:16:31
>>799、もしかして物理板にも出現してる人？少なくとも数学的センスに恵まれなかった
おれにとっては遠山先生の一連の著作はむちゃくちゃためになった。ただ、
もし君が俺より数学的センスに恵まれなかった場合、ためになるかは
保証の限りではない。（数学以外は思いっきり理系脳の持ち主です。その一方
数学のセンスはあまり無い）
0813１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:19:14
>>812
「無限と連続」という本を読みましたか？
もし読んだとしたら難易度などを教えてもらえないでしょうか？
文系の人でもちゃんと最後まで読めるものなのでしょうか？
数式などはどのくらい書かれているのでしょうか？
0814１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:46:32
>>780
高校範囲で証明できるっぽい。
時間ができたら概要書くわ。
最近やきが回ってきてるんで勘違いの可能性もあるけど。
0815１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 21:47:19
⇒ y=f(x), x∈(A∩B)
0816１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:08:57
>>803,805,810,811

荒らすな雑魚
0817１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:16:11
>>809
（１）超超基本
（２）超超基本
（３）超超基本
0818１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:34:12
>>816
死ねゴミ
0819１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:41:18
通報しますた
0820１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:53:01
通報しますた
0821１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:54:27
通報しますた
0822１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:55:43
通報しますた
0823１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:56:48
通報しますた
0824１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:57:51
通報しますた
0825１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 22:59:04
通報しますた
0826１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:00:19
通報しますた
0827１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:01:35
通報しますた
0828１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:03:18
通報しますた
0829１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:04:00
通
0830１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:18:50
報
0831１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:23:47
し
0832１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:25:36
し
0833１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:26:54
ま
0834１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:27:04
し
0835１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:27:33
す
0836１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:27:58
ま
0837１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:28:52
た
0838１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:29:19
ん
0839１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:30:06
め
0840１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:31:08
ん
0841１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:31:57
消えろ、たんたんめん
0842１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:32:26
は
0843１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:34:01
ね
0844１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:34:55
すまたんめん
0845１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:35:20
ぇ
0846１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:39:59
>>809
教科書の難易度自体覚えてないので何とも言えませんが３つとも難しくはないと思います

（１）について
abが３の倍数かつaもbも３の倍数で無いと仮定する。
すると
a=3p-1またはa=3p-2 (pは自然数)（a,bが自然数なので）とあらわせる
同様に
b=3q-1またはb=3q-2 (qは自然数)とできます
この時abを４通りの場合すべて調べても３の倍数になりません。
ゆえに矛盾。よってaとbのどちらか一方が３の倍数になります。

（２）について
まずabが３の倍数であることと（１）からaとbのどちらか一方は３の倍数になります。
（i）aが３の倍数の場合
　　a=3m (mは自然数)
　　条件よりa＋bが３の倍数であるから
a＋b=3k （kは自然数）　とあらわせるので式変形して
　　b=3k-a=3(k-m)
　　よってbも３の倍数となる。
　(ii)bが３の倍数の場合
　　(i)と同様
ゆえに（i）（ii）からaもbも３の倍数となる。　
0847１３２人目の素数さん2010/05/12(水) 23:41:02
>>809
続きです
（３）について
条件より
a＋b=3k (ｋは自然数)、a^2＋b^2=3s (sは自然数)とあらわせる。
この時
(a＋b)^2=a^2＋2ab＋b^2=9k^2=3(3k^2)
であるから２乗しても３の倍数になる。すると
3s＋2ab=3x (x=3k^2とし、ｘは自然数)
よって
2ab=3(x-s)
となり2abは３の倍数。つまりabが３の倍数になる。（２と３が素なので）
よって（２）からaもbも３の倍数になる。


かなり雑ですが流れはこんな感じだと
0848１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:01:16
通報しますた
0849１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:02:25
通報しますた
0850１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:05:04
通報しますた
0851１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:06:02
通報しますた
0852１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:07:06
通報しますた
0853１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:08:07
通報しますた
0854１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:09:08
通報しますた
0855１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:09:33
何故このｽﾚに気違いが？
0856１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:10:15
通報しますた
0857１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:11:19
通報しますた
0858１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:12:08
通報しますた
0859１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:13:00
通報しますた
0860１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:13:57
通報しますた
0861１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:25:19
するーしろ
0862１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:32:39
Σはn以下の素数の平方根と整数の積の和の形に書ける。
√60=2(√2)(√3)(√5)などに注意。

まず，√2を括ってΣ=(√2)a+bとする。
aとbは2以外の素数の平方根と整数の積の和。

Σが有理数c/dであると仮定して
(√2)a+b=c/d
(√2)=(c-bd)/ad=A/B

ここで分母を有理化する。記号を改めないが，分母は整数になる。
有理化の結果，分子が整数になるならば√2が有理数になる矛盾。
分子が単項√xになるならば√(2/x)が有理数になる矛盾。

両辺平方して2=(A^2)/(B^2)
元の分子が単項でないから分子は根号を含む。

有理化や平方で根号の中に新たな素因数は表れない。
根号の中の素因数はn以下であり，しかも2は含まれない。
√3で括って同様にすると根号の中から3が消える。
結局，最後に残った素数の平方根が有理数になる矛盾。
0863１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 00:38:19
有限群の既約表現は群環の部分加群と同型になる。真か偽か？
(体の標数が群の位数を割る場合について)

※体を有限体や閉体(p進体)に限定してもよいです。
0864１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:08:54
通報しますた
0865１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:09:56
通報しますた
0866１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:10:47
通報しますた
0867１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:11:44
通報しますた
0868１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:12:59
通報しますた
0869１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:13:44
通報しますた
0870１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:14:37
通報しますた
0871１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:14:48
∫exp|sin x| dx　積分範囲は0から∞です。
絶対値の扱いがよく分かりません。
0872１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:16:03
通報しますた
0873１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 01:45:13
>>871
|sin(x)| は周期πなのだから発散してないかね？
0874１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 03:01:51
Navy SEALs の隊員の数学＆科学力ってどのくらいなんでしょうかね？
0875１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 09:15:08
ある本に自然対数の底eの値の計算方法が載っているんですが、
途中の説明のこの部分：

lim[h->0] (e^h - 1)/h
で
(e^h - 1)/h = k
とおくと、h=0のとき、k=1になる

・・・が分かりません。
h=0のときは
(e^0 - 1)/0 = k
のように未定義ですよね。

なので、上の元々の式の分母と分子をhで割ってみますと
lim[h->0] [ {(e^h)/h} - (1/h) ] / (h/h)
=lim[h->0] [ {(e^h)/h} - (1/h) ] / 1
=lim[h->0] {(e^h)/h} - (1/h)
=lim[h->0] e^(h-1) - (1/h)
二つ目の項(1/h)は0に収束するので
e^(h-1)はe^(-1) = 0.367879　(≠ 1)に収束しませんか？
計算機では1と出るので
自分が間違っているのは分かるんですけど、
何を見落としているのか分かりません。
どうか指摘してください。
0876１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 09:25:36
>>875
滅茶苦茶過ぎて話にならんが

>=lim[h->0] {(e^h)/h} - (1/h)
>=lim[h->0] e^(h-1) - (1/h)

(e^h)/h ≠ e^(h-1)

>二つ目の項(1/h)は0に収束するので

h→0で、|1/h|は∞に発散。
08778752010/05/13(木) 10:05:53
>>876
ありがとうございます
超お恥ずかしいです
おっしゃるとおり、(e^h)/h ≠ e^(h-1)ですね
(e^h)/eならe^(h-1)でしたね…
h→0で、|1/h|は∞に発散するのも一秒で気付きました

でも、lim[h->0] (e^h)/hも
指数関数的に増加するeをhで割るんですから∞になりませんか？
それとlim[h->0] 1/hとの差が1というのがよく分かりません
平易に説明していただけませんか？
すみません・・・
0878１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 10:10:49
つ
0879１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 10:45:15
>>877
分母の h を h-0 とおきなおすと、 e^h の h=0 での微分係数の定義そのもの
08808752010/05/13(木) 10:55:28
>>879
なるほど、分かりました
ありがとうございました
0881１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 11:10:38
>>782
n=2のとき無理数
2≦nのとき
Σ[k=1,n]√k = m/(n!) と仮定する(mは整数)
両辺にn!をかけると
n! + n(n-1)…3√2 +…+ (n-1)!√n = m
n! は正の整数、n(n-1)…3√2は正の無理数、その他の項は正の整数または正の無理数だから、左辺は無理数
右辺は整数だから矛盾
0882１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 11:12:37
>>783
訂正
×2≦nのとき
○3≦nのとき
0883１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 11:18:44
>>783
訂正
× >>782
○ >>780
0884１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:05:30
>>881
5 - √3
5 + √3
↑
どちらも正の無理数だけど、和は整数
とかあるけど・・・？
0885１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:15:43
それ結局正の整数と正の無理数と負の無理数の和じゃん
>>881はわざわざ全部の項が ｢正の｣ 無理数 って書いてるだろ
まぁ項って表現はマズイかもな
a(k)=n!√k/k でa(k)は全部正の…にすればいい
08868812010/05/13(木) 13:21:09
>>884-885
スマンね
数列の項のつもりで項って書いたから
清書は適当にしてくれ
0887１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:22:08
cos(θ)=(a↑, b↑)/|a↑||b↑| ;θはa↑とb↑のなす角
を座標の成分計算するときに出てくる式は平面のときは加法定理の
cos(a-b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)を表していますが
３次元の場合も同じように幾何学的に簡単に理解できますか？
0888１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:24:06
>>881
っていうか
＞Σ[k=1,n]√k = m/(n!) と仮定する
からして意味分からないんだけど
0889１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:28:19
マジで？
有理数と仮定してるだけなんだけど…
既約分数とはどこにもかいとらんよ
分母がn!になるように分子分母に同じ数字をかけまくって分数をm/n!にしてるだけ
0890１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:30:23
>>888
0891１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:32:17
正確には
＞n! + n(n-1)…3√2 +…+ (n-1)!√n = m
とは
1+√3+・・・+√n=m/(n!)
の両辺にn!かけてもならないし
わざわざn!と置く必要ないだろ
0892１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:32:52
>>885
意味がよくわからない。
それなら、Σ[k=1,n]√kが整数なのは当たり前ってことにならないのか？
0893１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:33:04
√2が抜けた
0894１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:36:29
スマン
Σ[k=1,n]1/√k
と見間違えた
罵ってくれ
0895１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:41:15
どっちにしても
a/b
とおいてあとは同じ議論で示せるじゃん。
0896１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:44:26
>>895
b(1+・・・+√n)が整数でないことはどうやって？
0897１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:44:26
>>895
どんな議論？
08988922010/05/13(木) 13:45:56
間違えた。
Σ[k=1,n]√kが無理数なのは証明するまでもなく当たり前と言っているような気がする。
0899１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:48:30
b + b√2 +…+ b√n = a
a(k)=b√k でa(k)は全部正の…
a(1) は正の整数、a(2)は正の無理数、その他の項は正の整数または正の無理数だから、左辺は無理数
0900１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:53:05
>>899
> a(1) は正の整数、a(2)は正の無理数、その他の項は正の整数または正の無理数だから、左辺は無理数
なんで？
んなこと言ったら、最初からΣ[k=1,n]√kは正の整数または正の無理数の和じゃないのか？
「正の無理数」って表現はおかしいと思うけど、それは別問題としても。
0901１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:56:41
>>881 は冗談だろ
0902１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 13:57:15
だから、「正の無理数」ってどういう意味でいってるんだ？
09038842010/05/13(木) 14:04:22
>>885
こう書けばいいのかな
(5 - √3) + (5 + √3) = 10
正の無理数の和が無理数にならない例なんて幾らでもある。

(正の無理数) + √k といった和が無理数になるかどうかだって自明とは思えない。
0904１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 14:09:21
>>885にとっては、√3は純粋な「正の無理数」でも、5-√3は正の整数-「正の無理数」であって、純粋な「正の無理数」ではないという他の人には知り得ない区別があるってことだろｗ
0905１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 14:46:05
>>887
余弦定理
0906１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 15:05:29
無理数には、複素数と純虚数みたいな関係に言い表せる用語ってないのかな
0907１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 15:58:39
>>780
a_nをn番目の素数のルートとする

1+√2+・・・はあるmがあって
ΣCa_(i1)+ΣCa_(i1)a_(i2)+ΣCa_(i1)a_(i2)a_(i3)+・・・+Σa_(i1)・・・a_(im)+(有理数)
Σは1からmの和
Cは有理数で全部違う(添え字省略）
とかける。

これが有理数になるとすると変形して
a_(m)=（a_(m-1)までを使った形)
と変形できる。
両辺を二乗すればa_(m-1)までしか使わなくても有理数が作れるから帰納法的に矛盾
0908１３２人目の素数さん2010/05/13(木) 16:10:24
>>906
純√2
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。