ｎ次正方行列AがAA=Aとなる時Aは正則でないことを証明せよ
ただしAは単位行列ではない。
という問題ですが以下のように考えましたが不安なので添削をお願いします。

Aを正則と仮定するとAに逆行列が存在しAA=Aの両辺にAの逆行列をかけると
A=Eとなり題意と矛盾するので仮定が間違いでありAは正則ではない。