申し訳ありません、f(x,y)のy^4の係数8を見落としていました。
ご指摘ありがとうございました。

f(x,y)＝x＾4＋8y＾4−b＾2(x−y)＾2 （b≠0）
f_x=4x^3-2b^2(x-y)
f_y=32y^3+2b^2(x-y)

f_x=0,f_y=0より4x^3-2*b^2*(x-y)
4x^3-2b^2(x-y)=0…(1)
32y^3+2b^2(x-y)=0…(2)

(1)+(2)より
4x^3+32y^3=0
x^3+8y^3=0
(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)=0

x=-2yのとき
32y^3-6b^2y=0
2y(16y^2-3b^2)=0
2y(4y+(√3)b)(4y-(√3)b)=0
(x,y)=(0,0),(-((√3)/2)b,((√3)/4)b),(((√3)/2)b,-((√3)/4)b)

x^2-2xy+4y^2=0…(3)のとき

x^2-2xy+4y^2=0のとき
xについての判別式Dは、
D=4y^2-16y^2<0となって実数解を持たない。