上極限集合と下極限集合に関する定理
∪∩A_k⊂∩∪A_k
の証明なんですが、以下の証明のどこがおかしいでしょうか

x∈∪∩A_k
⇔∃n∀k,k≧n→x∈A_k
⇒∀k∃n,k≧n→x∈A_k
⇔∀k,x∈∪_{k=n}^∞A_k
⇔x∈∩_{k=1}^∞∪_{k=n}^∞A_k