z∈C-{0} =:U
に、z=r*exp(it) ,i=√(-1)
によって局所座標を入れると、資料に書かれているのですが
これはＵを、”1つ”の座標近傍で覆うという意味なのでしょうか？

1つの座標近傍で被覆させようと思うと、tの動く範囲が[0,2π)となって
Ｒの（通常の）開集合ではなくなってしまうので、うまく行かないような気がします。

わかりにくい日本語で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。