斉次方程式 x^2*y''+(1/4)*y=0 の解 x^n として,
n(n-1)*y+1/4*y=0 より,
n(n-1)+1/4=(n-1/2)^2=0, ∴ n=1/2 (重解).
y_1=x^(1/2), 残るもう一個の独立解 y_2=x^(1/2)*log(x).

定数変化法で, y=A(x)*(y_1)+B(x)*(y_2) が元の方程式の解とする.
補助条件 (y_1)*A'+(y_2)*B'=0 をつけて,

(y_1)*A'+(y_2)*B'=0,
(y_1)'*A'+(y_2)'*B'=cos(x),

逆に解いて,
A'=-x^(1/2)*log(x)*cos(x),
B'=x^(1/2)*cos(x),

あとはこれらの右辺を積分すればよいが, 人力では無理?