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分からない問題はここに書いてね３２４

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0001１３２人目の素数さんNGNG?DIA(352352)
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね３２３
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1256211500/
01161152009/10/29(木) 18:37:27
45枚のﾄﾗﾝﾌﾟの束の中には3枚のｼﾞｮｰｶｰが入っています｡
その束の上から8枚とった時、1枚以上ｼﾞｮｰｶｰが出る確率はどのくらいか｡

1〜3枚、それぞれの場合についてお願いします。
0117１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 18:40:57
>>115
ジョーカー以外が42枚で
上から8枚の中にジョーカーが無い確率が
(42/45)(41/44)(40/43)…(35/38) = 259/473
ジョーカーが1枚以上ある確率が
1-(259/473) = 214/473 ≒ 0.4524
45%くらい。
0118１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 18:56:44
>>114
オイラーの公式の証明は、テイラーの定理を使いますよね…？更に三角関数についてのテイラーの定理は三角関数の微分の公式を使いますよね？三角関数の微分の公式の証明は加法定理使いますよね？

結局循環論法になりませんか…？
0119１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 19:28:56
予定調和だけどテーラーの定理使わなくてもオイラーの公式は証明出来ると思う
0120１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 19:30:49
>>119
どうやって…？
0121１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 19:45:08
そもそも三角関数の微分も
加法定理がいるとは限らないな
0122１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 19:49:51
>>121
どうして…？証明してみて…
0123１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 20:02:49
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suuretu/suuretu/taylor-teiri.html
三角関数出てくる？
01241152009/10/29(木) 20:03:37
>>117
ありがとうございました！
0125１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 20:06:01
>>123
一般の関数ｆについて証明する場合は必要ないですが…

特に三角関数にテイラーの定理を適用する場合は、三角関数の微分公式が必要ですよね？

オイラーの公式では三角関数についてのテイラーの定理を使うのですから、循環論法になりませんか…？
0126１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 20:18:22
>>122
昔の事だけど、東大入試で加法定理の証明かなにかが出たことがあった
次の日か数日後か忘れたけど
当の出題者側の解析周辺の先生方数人と談笑してるとこで
あれはどういう解答が一番よかったのかという話が出たんだが

「三角関数を級数で定義すればよかったんでない？」
の一言で終わった
結局何を定義に選び、それぞれの定理をどう証明したかで話は変わってくる
高校生には分からないかもしれないけど
三角関数の定義は同値なものがいくつもあるんだ
0127１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 20:32:27
俺はいつまでも定規とコンパスを信じてるから
sin[s] = y/r
cos[s] = x/r
にこだわりたい。ただ平行線公理の排除と同じく、考えてる空間で直交を排除していいならさらに便利な定義もある。
0128１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 20:36:07
うん、どれにこだわってもいいけど
>>113に書かれてることだけからは
何とも言えないかなと思った
0129１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 20:42:40
>>128
ありがとう…
教授に聞いてみるよ…


やっぱり総合科目の数学はそんなに厳密に議論しないのかなぁ
0130１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:13:31
>>128
解析サイドでの定義は、近似値を求めるとか真値周辺の挙動について考察する分には優れているでしょうね。
ただ、その定義では関数（写像）って感じではないですから。
0131１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:16:44
>>130
収束してるのだから函数って感じだろう。
0132１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:18:22
なんてったって　かーんすー
0133１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:18:34
?
0134１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:21:02
>>127の定義と級数による定義は同値なのか？
0135１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:27:44
>>131
収束とはなにか？
0136１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:28:55
>>90
　{1/(2^n)(n!)}(d/dx)^n (x^2 -1)^n = P_n(x),　
最高次（x^n）の係数は {1/(2^n)}Ｃ[2n,n],
直交性
　∫[-1,1] P_m(x) P_n(x) dx = δ_(m,n) 2/(2n+1),
より
　∫[-1,1] (x^n) P_n(x) dx = {2^(n+1)}/{(2n+1)Ｃ[2n,n]},

http://ja.wikipedia.org/wiki/ルジャンドル多項式
http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
0137１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 21:30:03
>>136
なるほどカルダノですか。
0138１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 22:20:46
数学と土木工学って何が違うんでしょう？
0139１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 23:54:34
では、まず似た所を挙げて見てください
0140１３２人目の素数さん2009/10/29(木) 23:59:22
3.1,5.8,4.1,1.0,8.3

このデータの分散ってどうやってだすの？
0141１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 00:00:45
・変な教授が多い
・数式を使う
0142１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 00:02:50
>>140
相加平均 E[X] = (x(1) + x(2) + … + x(n))/n
二乗平均 E[X^2] = (x(1)^2 + x(2)^2 + … + x(n)^2)/n
を出して
V[X] = E[X^2] - E[X]^2
0143１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 00:23:46
統計の分布って正規分布、べき分布の他に何がありますか？
ある程度有名なものだけでかまいませんので教えてください。
0144１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 00:27:49
>>143
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E5%88%86%E5%B8%83+%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83+%E9%9D%9E%E5%BF%83%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%88%86%E5%B8%83&lr=&aq=f&oq=
0145１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 01:57:00
そんなもの知ってどうしたいんだ・・
0146１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 02:12:25
>>145
なぜおまえは数学を勉強してる？
そんなものを知ってどうしたい？
0147１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 02:42:48
フーリエ積分の一様連続性の証明を
やってこいと言われて考えてます。

F(ν)＝(1/√2π)×∫ (e^(iνx))f(ｘ)dx
ｆ(ｘ)はＬ^1関数。

(自分の方針)
任意のεに対して
|ν−μ|＜δ⇒|F(ν)−F(μ)|＜ε
(∀ν、∀μ)
となるような正数δを探そうとしてみたところ
|F(ν)−F(μ)|≦…≦…の評価の途中で
νとμが消えてしまいます。

一様連続性の定義にしたがって進めようと
思ったのですが、方針から変えた方が
良いのでしょうか？

何かヒントでもいただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
0148１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 02:44:02
訂正

×　e^iνx
○ e^ｰiνx
0149１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 03:40:31
>>147
|∫ (e^(-iνx)-e^(-iμx))f(ｘ)dx|　の評価


積分区間を|x|≧Nと|x|＜Nに分ける

Nを十分大きく取って∫_[|x|≧N] をμとνに無関係にε以下とする

このNを固定する

|x|＜で常に|e^(-iνx)-e^(-iμx)|≦|νx-μx|≦N|ν-μ|が成り立つので
|ν-μ|が十分小さければ∫_[|x|＜N] はε以下になる
0150１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 03:42:31
×　|x|＜で常に
○　|x|＜Nで常に
0151１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 04:20:10
どなたか>>104お願いいたしますm(__)m
0152１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 08:25:52
>>151
>>105
0153１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 08:59:21
>>151
>>106の意味不明なコメントは、何を言おうとしてるの？
0154１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 11:32:00
Yについての微分方程式で

(D^2)*Y+Y/(4X^2)=cos(X)

が解けません

Dは微分演算子です。わかりづらくてすみません。

バカな僕にもわかるように教えてください。お願いします。
0155１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 11:39:20
>>154
{(D^2)*Y} +{Y/(4X^2)}=cos(X)
という式？
0156１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 11:41:44
>>155
その通りです。わかりづらくすみません。
0157１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 12:18:03
>>156
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%5Bx%5D+%2B+%28y%5Bx%5D%2F%284+x%5E2%29%29+%3D%3D+Cos%5Bx%5D

解こうとすると超幾何とかいろいろ出てくるようだけど…
0158１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 12:33:22
斉次方程式 x^2*y''+(1/4)*y=0 の解 x^n として,
n(n-1)*y+1/4*y=0 より,
n(n-1)+1/4=(n-1/2)^2=0, ∴ n=1/2 (重解).
y_1=x^(1/2), 残るもう一個の独立解 y_2=x^(1/2)*log(x).

定数変化法で, y=A(x)*(y_1)+B(x)*(y_2) が元の方程式の解とする.
補助条件 (y_1)*A'+(y_2)*B'=0 をつけて,

(y_1)*A'+(y_2)*B'=0,
(y_1)'*A'+(y_2)'*B'=cos(x),

逆に解いて,
A'=-x^(1/2)*log(x)*cos(x),
B'=x^(1/2)*cos(x),

あとはこれらの右辺を積分すればよいが, 人力では無理?
0159１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 12:42:25
「赤い玉が５個、白い玉が１０個あります。それぞれの石（同じ色の石どうしは区別しない）を横に並べた場合、それぞれの赤い玉の右隣が必ず白い玉となる組み合わせは何通りありますか？」

赤と白が同時に出る確率は1/5 × 1/10 = 1/50　　　でもこれは組み合わせじゃないですよね。
どなたか助けてください。。
0160１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 12:46:59
>>158
たとえば、下の Bは
x = t^2 とおいて
dx/dt = 2t

∫(√x) cos(x) dx = ∫ 2t^2 cos(t^2) dt
= t sin(t^2) - ∫sin(t^2) dt
でこれが、そのMathematicaのFrensnel積分の所になる。
∫exp(±x^2) dx が初等関数による表示を持たないことを考えれば(→ガウス積分等）
sin(t^2)の積分も無理だろう。
0161１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 12:57:01
>>159
白玉10個を先に並べ
|○|○|○|○|○|○|○|○|○|○
その左隣10個のうち5個を選んで赤玉を置く方法は 10C5 = 252通り
0162１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 13:01:07
>>161
非常にわかりやすい解説ありがとうございました。
0163１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 13:14:18
>>162
どういたしまして。
0164１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 13:21:45
解説がなくて、解き方がわかりません。よろしくおねがいします。

ある部屋に、一人ずつランダムに人が入っていきます。誕生日（月日だけで生まれた年は関係ない）が同じ人が２人以上
　部屋に入っている確率が0.5以上となるために、最低何人部屋に入らなければならないでしょうか。但し、一年は常に365日
　でうるう年はないものとします。

まずX／365=0.5 X＝１８２．５　　　　最低１８２人　　　　　でも明らかに何かがおかしいです。。



0165１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 13:40:30
>>157,158,160
大学２年の課題なので対して難しい問題はでないはずなんですが…

本当にありがとうございます！！
0166１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 13:45:09
>>164
全員が異なる確率を考えれば

1人目は何日でもよい。 (365/365)
2人目は1人目と違う誕生日(364/365)
3人目は先の2人と違う誕生日 (363/365)
n人目は先の(n-1)人と違う誕生日(366-n)/365
なので

n人までで
(365/365)(364/365)(363/365)(362/365)…((366-n)/365) = 365!/{(365-n)! (365^n)}
これが0.5未満になる最小のnは23だから

23人いれば0.5以上の確率で同じ誕生日の組が存在する。
0167１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 14:15:36
>>166
すばらしい。。。非常に助かりました。
0168１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 15:52:11
a[n+1] = a[n]+nという漸化式から、
これとa[1] = 0ということを組み合わせれば、
a[n] = Σ[k=0,n-1]{k} = n*(n-1)/2が得られるらしいの
ですが、なぜこう展開出来るのかわかりません。
どなたか、わかりやすく解説して頂けませんでしょうか？
0169１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 16:00:37
>>168
a[n+1] - a[n] = n なので

a[1] - a[0] = 1
a[2] - a[1] = 2
a[3] - a[2] = 3
…
a[n-1] - a[n-2] = n-2
a[n] - a[n-1] = n-1

全部足すと、左辺は打ち消しあって

a[n] - a[0] = Σ_{k=1 to (n-1)} k

0170１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 17:24:21
>>167
どういたしまして。
0171１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 18:13:42
空間上の正六角形で、隣接する三点の座標が順に（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）（x3,y3,z3）の時、
残りの三点の座標をお願いします。
0172１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 18:20:28
お願いします。
4-2×（7-2√7+1/2）＾2
↑4-2×二分の7-2√7+1の２乗です。

をいくら計算しても
-5+2√7になります。
正解は√7のようです。

計算式をお願いします。
0173１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 18:28:43
>>172
数式がよく分からないけど

4 - {2 × ( (7-2(√7) +1)/2 )^2 }
みたいに括弧をたくさん使って書いてくれ。
0174１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 18:36:39
>>171
A（x1,y1,z1)
B（x2,y2,z2）
C（x3,y3,z3）
として、残りの頂点も順番に、D,E,Fとする。
正六角形ABCDEFの外接円の中心をT とする。
ACの中点 P = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2, (z1+z3)/2) はBTの中点でもある。
つまり T = (x1-x2+x3, y1-y2+y3, z1-z2+z3)

あとは、TについてA,B,Cと対称な点が F,E,Dなので
F = (x1-2x2+2x3, y1-2y2+2y3, z1-2z2+2z3) 等
0175１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 20:10:50
定理（永田、代数学入門、P203）
Mが数体Kの部分体であって、KのMの上の拡大次数は有限とする。（nとする）
Mから代数的数全体のなす体Ωの中への同型fを一つ固定する。すると、KからΩの中への同型gで、
そのMへの制限g|Mがfと一致するものはちょうどn個ある。

この証明で、

＞Mの代わりにf(Ｍ)を考えて、fはMの上の恒等写像としてよい。

とあるのですが、その理由がわかりません。教えてください。
（fが恒等写像の場合の証明は理解できたので、上の理由を教えてくださるだけで大丈夫です。）
0176１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 20:35:53
合成写像
Kの元をM係数で書く
0177１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 21:50:59
＞合成写像

詳しくお願いします。
0178１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 22:02:34
この問題ご指導ねがいます。。。「2009個のランプがあり、全てスイッチ（クリック式）がオフになっています。動作1で、1の倍数の全てのランプのスイッチ
　をクリックし（１の倍数のスイッチ全てＯＮになる）、動作2で、2の倍数の全てのランプのスイッチをクリック（２の倍数
　のスイッチ全てをクリックするため、２の倍数のスイッチは全てＯＦＦになる）し、・・・という動作を2009まで繰り替え
　した場合、最後にスイッチがＯＮになっているランプはいくつありますか。」
0179１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 22:55:41
>>178
約数の数が奇数個の数がいくつあるか答えろというわけだな。

n = {p(1)^q(1)} {p(2)^q(2)} … {p(m)^q(m)}
と素因数分解できるとき、約数の個数は
{q(1) + 1} {q(2)+1} … { q(m) +1} 個あり
これが全て奇数になるから
q(1)〜q(m) は偶数でなければならない。つまり nは平方数。
逆に、平方数なら、約数は奇数個だ。

2009までだから44^2 = 1936まで、44個かな。
0180１３２人目の素数さん2009/10/30(金) 23:20:30
>>178
普通に考えたら
素因数分解使わなくてもよかった。
pがnの約数ならn=pq となるqが存在するのだからp=qとなるものがなければ
偶数個。
p=qとなるものがあれば、奇数個なのは当然だった。
0181１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 05:34:41
>>179-180
どうもありがとうございます。
想像していた以上に複雑でした。。
0182１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 11:00:45
>>175
マルチ
0183１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 15:09:55
>>181
平方数を知らないってこと？
0184１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 15:43:25
中学の数学なんですか、{-(X-１)}^2
答えが-X^2+2X-１になりますか？
0185１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 15:44:34
ならない
0186１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 15:52:40
>>184
(-a)^2 = a^2
0187１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 16:04:34
>>185さん186さん
ありがとうございます。
この2乗は( )についてるんではなく、{ }についてるんですね。
ありがとうございます
0188１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 16:06:25
>>187
そう。
0189１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 16:59:58
自分の努力不足なのは重々承知なのですが、どうしてもわからないので書き込ませていただきます。

三角形ＡＢＣの３辺の長さが、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝３ａ−２、ＡＢ＝５ａ−４であるとき、ａの範囲を求めると【ア】である。
また、三角形ＡＢＣが鈍角三角形で外接円の半径が√３（５ａ−４）／３ならば、ａ＝【イ】である。

という問題です。

【ア】の方は基本的な問題なのでいいのですが、【イ】の方がわかりませんでした。

ちなみに、【ア】のほうは６／７＜ａ＜２で、【イ】は３／２です。
よろしくお願いします。

0190１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 17:40:07
どなたか>>104お願いします。
0191１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 17:51:42
>>190
解答済
0192１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 17:59:49
(∂f)/(∂x)、(∂f)/(∂y)は求めてみたのかな。
ただの計算だと思うが。
0193１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 18:12:48
>>192それが指数が複雑でよくわからないんです(>_<)
0194１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 18:19:57
対数微分すればなにも面倒なことない
0195１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 18:36:36
>>189
AB - BC = 4(a-1)
AB - CA = 2(a-1)
CA - BC = 2(a-1)
CAは最長にはならない

R = (√3)(5a-4)/3 ということなら
正弦定理
(5a-4) /sin(∠C) = (2/√3)(5a-4)
sin(∠C) = (√3)/2
∠C = 60° or 120°

(5a-4)^2 - a^2 = 8(a-1)(3a-2)に注意すれば余弦定理から
(5a-4)^2 = a^2 + (3a-2)^2 - 2a(3a-2)cos(∠C)
8(a-1) = (3a-2) - 2a cos(∠C)
{ 5+2 cos(∠C)}a = 6
a = 6/{ 5+2 cos(∠C)}

ABが最長なら∠Cが鈍角で
cos(∠C) = -1/2
a = 3/2

BCが最長なら∠Cは鋭角で
cos(∠C) = 1/2
a = 1
しかしこのとき AB = BC = CA で不適。

結局 a = 3/2
0196１３２人目の素数さん2009/10/31(土) 22:42:29
>>195
どうもありがとうございました。
これで安心して明日の授業に向かうことができます。
0197１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 02:06:06
どなたか>>104解答書いてもらえませんか？
0198１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 02:09:19
>>197
>>105
0199１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 02:21:20
Maxima使うといいよ

taylor((y^2)*(a^x)+x*(a^(y^2)), [x,y], 0, 3);
0200１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 02:26:02
前スレを見てみたら>>104は
ありえんくらい馬鹿な38才のおっさんだそうな
0201１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 03:29:44
arctanって実数値関数としては
絶対値1以下の領域で冪級数展開できるけど、
複素関数としてもある収束円内で冪級数展開できますか？
0202１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 03:35:28
>>199さんマスマティカってテイラーできるんですか？あと上の方での解答意味がわからないのですが・・・
0203１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 09:08:56
>>201
複素数になっても見た目自体は同じ級数
0204１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 09:10:14
>>202
当然できる。

回答の意味が分からないなら
どのように分からないのかを
聞くべきでは？
>>106みたいな意味不明なのではなく。
0205１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 10:25:20
ハロー
0206１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 10:36:17
質問です。
電動台車Ａと台車Ｂ（重量＝10ｔ）があります。
この場合、電動台車の重量はどれくらいに設定すれば台車Ｂを引っ張っていけますか？
0207１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 10:37:18
>>205
ガンダム？
0208１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 10:38:38
>>206
板違い。
0209１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 12:34:32
∫(√t)/(1+e^t) dt ≦(√π)/2 を証明したいのですがどうすればいいのでしょうか？
積分範囲は0から∞です。
0210１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 14:50:00
>>209
t = x^2 として

∫_{t=0 to ∞} (√t)/(1+e^t) dt ≦ ∫(√t)/(e^t) dt
= ∫_{x=0 to ∞} 2 x^2 e^(-x^2) dx
= ∫_{x=0 to ∞} e^(-x^2) dx = (√π)/2
02112092009/11/01(日) 17:01:39
>>210
最後の2X^2が消えてるとこがよくわからないんですけど
0212１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 17:04:40
部分積分
0213１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 17:53:38
>>211
いつものアレ
0214１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 18:20:11
どなたか104を偏微分してやるやり方で解答書いてもらえませんか？
0215１３２人目の素数さん2009/11/01(日) 18:28:02
>>203
ありがとう
でも実数のときと同じように証明できるの？
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