学部生のための数学の質問スレ
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0001１３２人目の素数さん
2009/04/19(日) 21:21:26細かく学習内容が決まっていて尚且つ参考書も充実している
高校数学と違って、大まかにしか学習内容が決まっておらず
範囲が膨大でより抽象的な大学数学に悩まされている人は多いはず。
守備範囲としては主に理工系学部で学ぶ数学、具体的には
純粋数学よりも応用数学を対象としています。
(ex.微分積分、微分方程式、ベクトル解析、複素関数、線形代数、
固有値問題、確率統計、フーリエ解析、ラプラス変換、特殊関数、etc)
個人的推薦図書
[1]千葉逸人:これならわかる工学部で学ぶ数学,プレアデス出版
[2]金谷健一:これなら分かる応用数学教室,共立出版
[3]金谷健一:これなら分かる最適化数学,共立出版
[4]和達三樹:物理のための数学,物理入門コース10,岩波書店
[5]ワイリー:工業数学(上)(下),ブレイン図書出版
0656648
2009/07/20(月) 02:42:32やはり普通の虚数平面ではなく、ポアンカレモデルにおける距離の定義で出さないと駄目なのですか？
>653で、２点を通る円の中心について書かれていますが、確かに、中心が求められれば、半径⇒実軸との交点と、順番に分かると思いますが…。
垂直二等分線と実軸との交点を求めるのは、普通の虚数平面のように作図して交わった点でいいのですか？
0657１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 02:47:02おｋ
0658648
2009/07/20(月) 02:49:14御蔭様で解けそうです。
半分諦めて違う問題を解いていました（苦笑）
今解いている問題が解き終わり次第、じっくり考えてみます！
本当にありがとうございました！！
0659648
2009/07/20(月) 05:51:18円の中心は（おそらく）無事求めることが出来たので、
多分、円と実軸との交点＝円の中心±半径 であろうと推測して、半径を求めようとしたのですが、
半径がでません。それとも、半径なんか出さなくても円と実軸の交点は出るのですか？
何度も何度も非常に申し訳ありませんが、どなたかご教授下さい。
0660１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 06:05:37中心が3で半径が2だとおもう
0662１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 06:24:01座標を見て何となく・・・三角定規が隠れてたｗ
0663648
2009/07/20(月) 06:27:27中心の作図等は、位置の特定なので、普通の虚数平面と同じ方法で良いけど、
半径などの長さを扱う場合は、距離の定義を使うために、通常の虚数平面と同じ計算だと間違えることが…
というイメージがあるので、単純に三角定規を使っただけの２でいいのかがすごく不安なのですｗ
0664１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 06:33:22でも境界から内点までを非ユークリッド距離で測ったら
無限大になっちゃうような・・・俺もわかんなくなってきた
0665648
2009/07/20(月) 06:45:52半径２と「仮定」して、平行移動と縮小をした後、
上半単位円を、上半虚軸に移す一次分数変換を行ったところ、綺麗に２点とも上半虚軸に収まりましたｗ
なので、「きっと」半径は２であってると思いますｗ
正直もう、どこまでを普通の虚数空間で取り扱うのかわからなくなってきましたが…、
なんかもう、これ以上考えだすと皆様を巻き込んでしまう気がするので、
安直に、虚数平面と見て２。と思いこんでおきます。
どなたかが見て、もし「２じゃないよ」と思ったら、書きこんでおいてくださるとありがたいです。
0666１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 13:08:180667１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 14:54:49複素上半面で円の中心3（3+0i)と3-√2+i√2、3-:√3+iを結ぶ直線が実軸の正の向きと成す角は
それぞれ、(3/4)π、(5/6)πだから、この２点の双曲的距離は
log(tan(5π/12)/tan(3π/8)) ということなのかな。
俄か勉強で間違ってるかもしれんが。
円の半径2というのは、その値自体に意味はない、としていいんだよな
0668１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 22:31:50Γ(2z) = (2^(z-1)/√π)Γ(z)Γ(z + 1/2)
の証明を教えてください。よろしくお願いします。
0669１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 22:42:56aを含むXの任意の開集合Uに対してU∩A≠φであることが必要かつ十分
であることを示せ．
という問題をお願いします。
0670１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 22:46:530671１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 22:55:01必要性も十分性も示せていません。
よろしくお願いします。
0672１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 23:48:270673１３２人目の素数さん
2009/07/20(月) 23:59:33よろしくお願いします。
0674１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 00:41:110675１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 01:26:46①a∈(Aの閉包)であるとしたときに、U∩Aが空集合ではない。
②U∩A≠φであるとしたときに、aは(Aの閉包)に含まれる。
この2つを言えれば、必要十分であることの証明になる。
定義がわかってるなら、定義通りに条件あてはめていけば自然となるんじゃない？
0676１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 13:11:45行列Ｘが
[-1 5 2]
Ｘ＝[-1 3 1]
[-2 4 3]
で与えられているとする。
(1)Ｘの固有多項式を求めよ。
(2)Ｘ^10 - 5Ｘ^9 + 8Ｘ^8 - 4Ｘ^7 + Ｘを求めよ。
(1)で固有値が1と2（重解）であることはわかったのですが、それを使っても対角化するための行列を作ることができませんでした（固有ベクトルが2つしか求められない）。
(1)から考えて対角化させる誘導問題だと思ったのですが、他にべき乗を求める方法があるのでしょうか。
0677１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 13:46:02対角化しなくても固有多項式は使える
X^3-5X^2+8X-4=O
0678１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 14:00:05ありがとうございました。
0679１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 14:35:02返事が遅れました。どうもありがとうございました。
0680１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 14:46:09sin(z)のところにつっこめばいいのでしょうか。
あと、この場合の主要部はどれになるのでしょうか。
0681１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 19:05:590682１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 20:01:290683１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 21:12:18数学科指導法の試験でこんな問題があったんですけど、
この問題、確率論的に大丈夫なんでしょうか。
2つの実数を選ぶ、とありますが、選べるんですか？
問題 [0,1]から２つの実数x,yを選んだとき、|x-y|≦1/2となる確率を求めよ。
0684１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 21:51:020685１３２人目の素数さん
2009/07/21(火) 22:59:39指導法は数学じゃない
0686１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 00:25:43等確率にという前提なんだろうが、選べるよ。
もっともその問題では、選べたと仮定するだけで十分で
実際に選ぶ方法を構成する必要はないだろう。
0687644
2009/07/22(水) 00:40:51ありがとうございます コーシーの積分公式のことですよね？
で、その後どうすればいいのか考えても分かりません・・・
どなたかさらにヒントを教えていただけませんか？
0688１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 01:46:11>>668の右辺は(2^(2z-1)/√π)Γ(z)Γ(z+1/2)じゃないか？
0689１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 06:36:371/(1-t)^2 = 1 + 2t + 3t^2 + 4t^3 + … であるから…
と解答に書かれているのですがこれは公式なんでしょうか？
なんでこうなるのかさっぱりわからない…
自分で調べてみようと思うのでご存知の方は関連キーワードを教えていただけると嬉しいです
0690１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 07:20:260691１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 07:53:08そうだ…等比級数だ…やられた… わからんかったのがすごく悔しい
ありがとうございました
0692１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 13:53:341/(1-t) を展開したモノを2乗してもおｋ
0693１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 16:34:440695１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 21:50:26(u(x),u(y))=(x,y)
これの計算が出来ないんですが･･･
どなたか教えてくれないでしょうか？
0696１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 22:09:06A^*はAの随伴行列
0697１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 22:48:22√π=Γ(1/2)なので示すべき式は
Γ(2z)Γ(1/2)=(2^(2z-1))Γ(z)Γ(z+1/2)
f(z,n)=(n^(2z))(n!)/Π_[0≦k≦n](z+k)
Γ(z)=lim f(z,n)
この記号の下で
f(2z,2n) f(1/2,n) = f(z,n) f(z+1/2,n-1) (2^(2z-1)) (2n/(2n+1))
0698１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 22:51:57dz=σ+iτ、d（z*）=σ-iτ
のとき
（d＾2）z=2dσ・dτ
となるのがわかりません…(T_T)
0699１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 23:04:11ここでfは「０，１」で連続、f(0)＞0, ｐ、ｑ＞０とする
L’Hospitalより、lim(x↓0) f(x)/px^(p-q-1)
q=p-1のとき、与式＝f(0)/p
q＜p-1のとき、与式＝∞
q＞p-1のとき、与式＝cとなるｃが存在する。
積分の極限値の問題ですかね？
ここまでやったのですが、あってるかわかりません。教えてください
0700１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 23:06:010701１３２人目の素数さん
2009/07/22(水) 23:53:18ってか高校からやり直せよ。
0702１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 00:01:30・ベクトル空間の次元
・2次曲線の余類
・n次元座標空間
を説明していただけませんか？よろしくお願いします。
0703１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 00:18:390704１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 00:59:27*************
ＳをＲ^4の(線形)部分空間とし、(列)ベクトルa1,a2,a3,a4∈Ｓとする。{a1,a2,a3}がＳの基底をなすとき、以下の行列の階数をそれぞれ求めよ。ただし、行列の階数がかならずしも1つの値に定まらないこともある。
なお、e1,e2,e3,e4はそれぞれ第1、第2、第3、第4単位ベクトルを表す。
(1) (a1,a2)
(2) (a1,a2,a3,a4)
(3) (a1,a1+a2,a1-a2,a1+a3)
(4) (a1,a2,e1,e2)
(5) (e1,e2,e3,e4,a1,a2)
(6) (a1,a1+e1,a1+e2,a1+e3,a1+e4)
*************
よろしくお願いします。
0705１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 00:59:520706１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:06:090708１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:14:130709１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:15:580710１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:16:520711１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:21:130712１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 01:46:34パワポなどのプレゼンテーションツールを使うとかで
手書きの文字は書かない人だったりすると
そういうわけにもいかないよな
0713１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 17:31:48こうする
http://zuu9xi.sa.yona.la/9
ベクトルは小文字，集合は大文字なので普通は混ざらない．
混ざるときにはいちいち集合～などと表記するか，矢印表記を使う
0714１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 17:42:28(sin2x)'=2cos2x になぜなるのですか？
というか質問したいことは
なぜ三角関数はxの値によって一次的に決まるのに合成関数みたいなことになっているのですか？
0715１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 17:54:25とはどういうことだ？
>合成関数みたいなことになっている
合成函数だろ、sin(x)と2xの。
0716１３２人目の素数さん
2009/07/23(木) 20:19:310717１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 12:36:370718１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 15:02:26もしくは超初歩的な質問はどこで聞けばよいのでしょうか。
分野は確率です
0719１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 15:13:330720１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 17:43:22http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247130000/
ここで聞けば興味があるやつがいれば答えてくれる。
0722718
2009/07/24(金) 19:08:07誘導先で聞いてもレスがつかないようなのでこちらで聞かせてください。
二項分布とは何か？正規分布とは何か？を教えていただきたいです。
情けないことにwikiや他のwebを見てもわからないのでどうぞよろしくお願いします。
0723１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 19:42:48例：x=0の時の(cos(x) - 1)/x^2
0724１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 19:50:110/0であり不定であるとしか言いようがない
0725723
2009/07/24(金) 20:24:59ありがとうございます。
実はこんな問題だったんですが、a0が0/0となってしまいます。
どこがおかしいかご指摘願えませんか。
（問題） 区間-π≦x≦πにおいてf(x)=|x|となる周期2πの周期関数f(x)のフーリエ展開を求めよ。
（私の解答）
ak=1/π∫f(x)・cos(kx)・dx (積分範囲-π～π)
=2/π∫[0→π]x・cos(kx)・dx (積分範囲0～π、以下同様)
部分積分を行って
ak=2/π｛ [x・sin(ky)/k] - ∫sin(ky)/k ｝dy
=2/(k^2・π)・[cos(ky)]
=2/(k^2・π)・｛cos(kπ) - 1｝
k=0 で a0 = 0/0
見づらくてすいません…。
0726１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 20:27:58（私の解答）
ak=1/π∫f(x)・cos(kx)・dx (積分範囲-π～π)
=2/π∫[0→π]x・cos(kx)・dx (積分範囲0～π、以下同様)
部分積分を行って
ak=2/π｛ [x・sin(kx)/k] - ∫sin(kx)/k ｝dx
=2/(k^2・π)・[cos(kx)]
=2/(k^2・π)・｛cos(kπ) - 1｝
k=0 で a0 = 0/0
0727１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 21:07:210728１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 22:09:591(1-x)=1+x+x^2+...
では、この形と同形の関数であればxには何を入れても(たとえばt^2とかsin(u)とか)
等式は成り立つのでしょうか。
また、成り立つとすればこれはマクローリン展開一般にいえることなのでしょうか。
0729１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 22:47:19例えば1/(1-sinu)=1+sinu+sin^2u+...
0730１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:02:11多分誰もあなたのために教科書を書いている暇はないので
何がわからないのかを具体的に書いたほうがいいと思う。
0731１３２人目の素数さん
2009/07/24(金) 23:18:29k=0のときはお前が書いた式変形はそもそも通用しないだろ糞が
0732１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 01:03:10本当ですね、ありがとうございました。
0733１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 09:26:06grad(A ･B )＝(B∇)A＋(A∇)B＋A×(rotB )＋B×(rotA )
って、A,Bがｎ次元で∇がｐ次元だと
B∇がｎ×ｐの行列になって (B∇)Aが計算できないんですけど
ベクトル解析の公式の次元って全て3次元が前提なんでしょうか？
0734１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 09:49:330735１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 10:15:20やっぱりそうですか。
ついでに回転って3次元の公式はありますけど、
より一般的なn次元の形の公式ってあるんでしょうか？
0736１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 10:18:070737１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 11:12:45Ut-Uxx=0 (t>0,0<x<π)
U(0,x)=sinNx (0<x<π)
U(t,0)=0, U(t,π)=0 (t>0)
これの解法を教えてもらえないでしょうか？お願いします。
0738１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 11:32:18閉区間[0.1]上の関数fを次のように定める。f(x)=1 (x=1/n(nは正整数)のとき) f(x)=0 (それ以外)
この関数の上積分と下積分が0となることを示せ。
という問題です。εとかを使うらしいです。学部1年です。よろしくお願いします
0739１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 11:36:16>ついでに回転って3次元の公式はありますけど、より一般的なn次元の形の公式ってあるんでしょうか？
「ベクトル解析」と称する物は、微分形式とかファイバーバンドルの言葉を使わないで
「一見」初等的に見せようとしているから性質（たち）が悪い。
誰か、きちんと定式化しないんだろうか？
0740１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 11:42:23「x成分」とか言ってるけど、どう見てもdy∧dz成分です、みたいな
0741740
2009/07/25(土) 12:10:31>>735
1-formから2-formへの外微分というものがrotの一般化
n次元をn(n-1)/2次元に移す
0-formから1-formへの外微分がgradの一般化、(n-1)-formからn-formへの外微分がdivの一般化
それぞれ1次元をn次元に、n次元を1次元に移す
0742１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 12:44:02I＝∫[0→２π]dθ/(cosθ＋b)
(1)h(z)=2/(z^2+bz+1)を単位円周Cを反時計回りに回転する積分路で積分した時の∫h(z)dzを求めなさい
(2)(1)で積分をz=e^(iθ)と変換した式と（１）の結果を利用してIの値を出しなさい
って問題なんだけどこれIに直でz=e^iθ入れても解けるよね？
誘導の意味が分からないのとあと（1）ってz=e^(iθ)の変換なしで解ける？
0743１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 12:53:12線積分の定義わかってないだろｗ
0744１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 13:03:52ｂはどうしたらいいんだ
0745１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 13:30:02h の極が C の上にあるとマズイと思うんだけど
0746１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 13:46:41>誰か、きちんと定式化しないんだろうか？
僕も学部生のころ思いました。定式化はとっくにされていると思うけど、和書では
電磁場とベクトル解析 (現代数学への入門) (単行本)
深谷 賢治 (著)
が数学専攻の人には読みやすいと思います。
0747１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:28:580748１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:35:01x=0で-∞になることが明らかなlogxにマクローリン展開を適用するのが筋違い
log(x+1)とかなら出来るけど
0749１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:37:340750１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:43:060751１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:44:32ホッジstar混ぜるだけでいいじゃねーの
0752１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:47:46それだとf^(n)(0)が定義できなくなるのでは…?
>>748
ですよね。
さらに質問ですが、例えばlog(1+x^2)をマクローリン展開(剰余項なし)するときに一回微分した、
2x/(1+x^2)を
2x・(1/(1+x^2)をマクローリン展開したやつ)の形にしてそれを項別積分するやり方では間違いでしょうか?
0753１３２人目の素数さん
2009/07/25(土) 14:49:39言葉の問題になっちゃうけど
「テーラー展開」じゃなくて「マクローリン展開」と言ってるからな・・・
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