>>635
> f(x) = xは奇関数

ここが早合点。

仮に、f(x)=xが0を含む開区間で定義されているならば、確かにそれは
0の適当な近傍において奇函数でなければならない。
しかし、それが[0,π)などのように、0を内点に持たないような区間で
定義される函数であるならば、これをもともとの定義域の外側で
偶函数となるように延長することができる。

実際、f(x)=x (x∈[0,π)) の余弦展開は[0,π)ではxに一致するが、
[-π,0)では-xに一致するはずだ。
g(x)=-x for x∈[-π,0) and x for x∈[0,π) と書くことにすれば、
x∈(-π,0) のとき-x∈(0,π)だからg(-x)=-x=g(x)となり、
x∈(0,π)のとき-x∈(-π,0)だからg(-x)=x=g(x)となって
これは偶函数である。
さらに外側をも見るならば、／＼／＼／＼／＼の如きグラフを描く。
一方、正弦展開すれば、////////////の如く斜線の並びとなる。