べき零群に関する次の証明でわからないことがあります。

命題：
Gをべき零群とする。
列 e=Z0(G)⊂Z1(G)⊂…⊂Zi(G)⊂…
を、Z(G/Zi(G))=Zi+1(G)/Zi(G)(i≧0)と定義する(Zは中心を表す)と、Zn(G)=Gとなるnがある。

証明：
Gの中心列 e⊂H[0]⊂H[1]⊂…⊂H[n]=Gを１つとる。このとき、
H[i]⊂Z[i](G)=:Z[i](i≧0)を示せばよい。i=0のときは明らか。
H[i-1]⊂Z[i-1]とする。このとき、π:G/H[i-1]→G/Z[i-1]を考えると、
H[i]/H[i-1]⊂Z(G/H[i-1])ゆえ、π(H[i]/H[i-1])⊂Z(G/Z[i-1])=Z[i]/Z[i-1]
したがって、H[i]⊂Z[i]H[i-1]=Z[i]　(終)

この証明ですが、H[i]/H[i-1]⊂Z(G/H[i-1])からπ(H[i]/H[i-1])⊂Z(G/Z[i-1])と
なるところと、H[i]⊂Z[i]H[i-1]=Z[i]となるところが理解できません。
どういう論理で導いているのでしょうか？