高校数学の範囲になりますが、

(ab≠0、AB≠0とする。)
２つの曲線 a(x-p)^2+b(y-q)^2＝1、A(x-P)^2+B(y-Q)^2＝1
にy軸に平行ではない（接点を(X,Y)とする）共通接線が存在する。
⇔
２式 a(x-p)^2+b(y-q)^2＝1、A(x-P)^2+B(y-Q)^2＝1 から（２段階で）yを消去して得られるxの４次方程式が重解（X）をもつ。

がいえるんでしょうか？
いえるとしたら、どんな風に示せますか？