中間値の定理に対して、次のようなものは成り立つのでしょうか？

fをＩ⊂Ｒ2上で連続な２変数関数とする。
f(x1,y1)＜0＜f(x2,y2),(x1,y1)≠(x2,y2)
である実数の組(x1,y1,x2,y2 が存在するとき、Ｉ上で(x1,y1)と(x2,y2)を結ぶ任意の経路（端点を除く）上において
f(x3,y3)＝0
である実数の組(x3,y3)が存在する。

表現上のおかしな点は御勘弁ください。