「3,4,5で割った時の余りがそれぞれa,b,cとなる自然数」は
n = 2*a*4*5 + 3*b*5*3 + 3*c*3*4 (mod 3*4*5)
として機械的に求まる。

各項の先頭係数2,3,3は、それぞれ
4*5を3で割って余り1
5*3を4で割って余り1
3*4を5で割って余り1
となる数として与えられる。

たとえばnを3で割ると、第二・第三項は消え、
第一項 = a*(2*4*5) = a*1 = a (mod 3) となる仕掛け。

このようなカラクリと、先頭係数の求め方（一次合同式。中学生でも
会得可能）くらいは是非ともカリキュラムに組み込んで欲しい。
この辺を体系的に教えれば、一部進学校などで丸暗記させられている
フェルマーの小定理なんかも、仕組みを理解した上で身に付けられると思う。