>>787
前半：
y = lim[x→a] f(x) とおく．
y = 0 のときは | |f(x)| - 0 | = |f(x)| < ε．
y ≠ 0 のときは a の十分近くで f の符号と y の符号が
一致することに注意して | |f(x)| - |y| | = |f(x) - y| < ε．

後半：
存在するとは限らない．
　f(x) =　1 (if 2n <= x < 2n+1 for n = ..., -1, 0, 1, ...)
　f(x) = -1 (if 2n+1 <= x < 2n+2 for n = ..., -1, 0, 1, ...)
と定義すると
lim[x→∞] |f(x)| = 1 だが lim[x→∞] f(x) は存在しない。
a = ∞ を許さないなら f(1/x) みたいなのを考えれば同じ。