まず、d^2y/dx^2+4y=0の解ｙを求めます。この解ｙは、基本解といわれます。
求め方は、λを一般的に複素数として、ｙを１に対応させ、dy/dxをλと対応させ、
d^2y/dx^2をλ＾２と対応させると、それは上記微分方程式、d^2y/dx^2+4y=0の
特性方程式といわれる、λについての方程式となります。すると、上記特性方程式は、
λ＾２＋４＝０となります。これをλについて解くと、λ＝＋２i、−２i：　i＝√(-1)＝純虚数
となります。このとき、上記微分方程式d^2y/dx^2+4y=0の解は、次のように書くことができます。
　ｙ＝基本解＝Ａ・cos(2x)＋Ｂ・sin(2x)、ＡとＢは任意の実数の定数です。
次に、右辺がcosxである、d^2y/dx^2+4y=cosx の特殊解というものを求めます。
右辺が、cosxであるときは、上記特殊解は、特殊解＝Ｄ・cosx＋Ｅ・sinx、ＤとＥは任意の実数の定数と
なります。そこで、この特殊解：ｙ（特殊解）＝Ｄ・cosx＋Ｅ・sinxを、d^2y/dx^2+4y=cosxに代入して、上記ＤとＥの
定数を決定します。代入すると、３Ｄ・cosx＋３Ｅ・sinx＝cosxとなります。
cosxとsinxは１次独立なので、左辺のcosxの係数である３Ｄは右辺のcosxの係数１であるので、３Ｄ＝１よりＤ＝１/３であり、
左辺のsinxの係数である３Ｅは右辺のsinxの係数（右辺にはsinxの項がありませんので、右辺には０・sinxという項があるとして、）
である係数０を比較すると、３Ｅ＝０より、Ｅ＝０となります。よって、ｙ（特殊解）＝（１/３）・cosxとなります。
　d^2y/dx^2+4y=cosx の一般解＝上記基本解＋上記特殊解なので、
この一般解＝Ａ・cos(2x)＋Ｂ・sin(2x)＋（１/３）・cosx　：ＡとＢは任意の実数の定数　となります。