>>11

(>>14の続き)
ここで(2)の最右辺と最左辺の値を求める。
定積分S_n=∫[0,π/2](siny)^ndyを考える。
y=1/tant、=cottとおく。するとcottは区間(0,π/2]で単調減少かつ繰り返し微分可能なtの関数であって、
0≦cott<∞、　t→+0のときcott→∞、　cot(π/2)=0、　d(cott)/dt=-1/(sint)^2。
また、1+y^2=1+(cott)^2=1+(cost/sint)^2=1+(cost)^2/(sint)^2=1/(sint)^2。
よって、
∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy
=∫[π/2,0]{1/{1/(sint)^2}^n}*(-1/(sint)^2)dt
=-∫[π/2,0](sint)^{2n-2}dt=∫[0,π/2](sint)^{2n-2}dt
=S_{2n-2}。
即ち、∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy=S_{2n-2}
同様にして、y=cost、0≦t≦π/2、とおくと、
d(cost)/dt=-sint、　1-y^2=(sint)^2
であって、
∫[0,1](1-y^2)^ndy=∫[0,π/2](sint)^{2n+1}dt=S_{2n+1}。
一方、y=t/√nと変数の変換をすれば、
dy=(1/√n)dt、　ny^2=t^2
であって、
∫[0,∞]exp(-ny^2)dy=(1/√n)∫[0,∞]exp(-t^2)dt
であるから、(5)から
(√n)S_{2n+1}<∫[0,∞]exp(-y^2)dy<(√n)S_{2n-2}。
ここで、基本事項の(2)、(3)に着目すると、n→∞のとき(√n)S_{2n+1}、(√n)S_{2n-2}→π/2。
故に、∫[0,∞]exp(-y^2)dy=(√π)/2。
これと(4)とから、
S=∫[0,∞]exp(-y^2)dy+∫[-∞,0]exp(-y^2)dy=(√π)/2+(√π)/2=√π、
即ちS=√π。
従って、広義積分Int=(1/√a)Sは収束して、
Int=(1/√a)√π。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上で回(解)答は終わった。