>>11

(>>13の続き)
f(x)=exp(-ax^2)は任意のxに対して正の値を取るxの実関数であって、偶関数である。
ここに、関数f(x)のグラフがxy平面上にあったとすると
与えられた広義積分Intはx軸とf(x)のグラフとで挟まれた部分の面積を表す。
よって、a≦0のときIntは+∞に発散する。
故に、a>0であることを仮定して良い。
今、y=(√a)xとする。すると、dy/dx=√aからdx=(1/√a)dy、及びy^2=ax^2であるから
Int=∫[-∞,∞]exp(-y^2)(1/√a)dy=(1/√a)∫[-∞,∞]exp(-y^2)dy、
即ちS=∫[-∞,∞]exp(-y^2)dyとおけば、Int=(1/√a)S。
よって広義積分Sについて考察すれば良い。

そこで広義積分Sを考える。
exp(-y^2)はyの偶関数であるから、
∫[-∞,0]exp(-y^2)dy=∫[0,∞]exp(-y^2)dy。 (4)
ここで、∫[0,∞]exp(-y^2)dyについて考える。
Taylorの公式により、exp(y)=1+y+(1/2)exp(θy)y^2、0<θ<1、であるから、
yが0ではないときexp(y)>1+yであって、
yをy^2或いは-y^2で置き換えれば、それぞれ、exp(y^2)>1+y^2、exp(-y^2)>1-y^2が得られる。
今導いた2つの不等式から
1-y^2<exp(-y^2)<1/(1+y^2)
が得られる。これより任意の自然数nに対して
(1-y^2)^n<exp(-ny^2)<1/(1+y^2)^n
であって、
∫[0,1](1-y^2)^ndy<∫[0,∞]exp(-ny^2)dy<∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy。 (5)
ここに、次の不等式に注意すると、これら3つの広義積分は収束する。
∫[0,∞]{1/(1+y^2)^n}dy≦∫[0,∞]{1/(1+y^2)}dy=π/2。

(続く)