>>121
det|xＩ-Ｈ| = x^3 -x = (x+1)x(x-1),
Ｈの固有値λと固有ベクトルｕは
　λ1=-1, ｕ1 = [1/2, -1/√2, 1/2]†,
　λ2= 0, ｕ2 = [1/√2, 0, -1/√2]†,
　λ3= 1, ｕ3 = [1/2,　1/√2, 1/2]†,
したがって、
　Ｈ = ＵＤＵ†
と表わせる。ここに
　Ｄ = [[λ1,0,0], [0,λ2,0], [0,0,λ3]]
　　 = [[-1,0,0], [0,0,0,], [0,0,1]] ,　　対角行列
　Ｕ = [ｕ1,ｕ2,ｕ3],　　　　　　　　ユニタリー行列
したがって
　Ｈ^k = ＵＤ^k Ｕ†
　　　 = Ｕ [[λ1^k,0,0], [0,λ2^k,0], [0,0,λ3^k]] Ｕ†
　　　 = Ｕ [[(-1)^k,0,0], [0,0,0], [0,0,1]] Ｕ†,
よって
　Ｈ^0 = Ｉ,
　Ｈ^(2k) = ＵＤ^(2k)Ｕ† = Ｕ(Ｄ^2)Ｕ† = Ｈ^2, (k>0)
　Ｈ^(2k+1) = ＵＤ^(2k+1)Ｕ† = ＵＤＵ† = Ｈ,
求めるものは
　exp(-itＨ) = Σ[k'=0,∞) (1/k'!)(-itＨ)^k'
　　　= Ｉ -i･Σ[k=0,∞) {(-1)^k/(2k+1)!} (tＨ)^(2k+1) + Σ[k=1,∞) {(-1)^k/(2k)!} (tＨ)^(2k)
　　　= Ｉ -i･Σ[k=0,∞) {(-1)^k/(2k+1)!}t^(2k+1) Ｈ + Σ[k=1,∞) {(-1)^k/(2k)!}t^(2k) Ｈ^2
　　　= Ｉ -i･sin(t)Ｈ - {1-cos(t)}Ｈ^2,