εδ論法がわかりません！！ （＞＜）
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0001１３２人目の素数さん
2008/04/13(日) 17:34:33いきなりεδ論法がわかりません！！ （＞＜）
だれか助けてください！！
0321１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 12:12:06x∈男, y∈女 とかにして、x>yを「yはxを愛する」にすると、文系というかパンピー
でも少しはピンとくるようになるんじゃないだろうか。
(1) 「男なら誰でもいい女」しかいない世界
(2) ブサ男でも、広い世間にはきっと好きになってくれる女がいるよ
(3) 世界中の女に愛されるヨン様みたいなやつが世界に一人はいる
…
etc
0322１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 12:22:15解析をやりたいのら、そんなものはさっさと卒業して本論へ入れ。
基礎論やりたいので、そのイントロだと言うのなら止めはせんが。
0323１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 12:38:340324１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 12:53:49「命題→日本語化→事象理解」ではなく「命題→事象理解(→必要なら日本語化)」という流れが本道なんだけどね
量化子が3つ以上付いた命題になるとすっきりした日本語に置き換えられることなどほとんどないし(余計わかり難くなる)
0325１３２人目の素数さん
2008/06/07(土) 23:15:48この程度のもの2ヶ月近く経ってまだ乗り越えられないようではダメぽｸﾝ確定だが
0326１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 00:42:16なんでＤＳ？
こいつが一番数学向いてないな
0327１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 00:46:23小さいεって表現してるのは分かってる証拠だし、
小さいから意味があるんだよ
0328１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 15:05:30小さいεとか小さくないεとか、ε>0でありさえすればそんなものはどうでもいいこと
0329１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 18:55:32ことになる。この読み方は間違いでは無いものの、「∀ε＞0」という表現だけに
注目していて、ε－δが言わんとしていることを全く汲み取っていない。ε－δの
本質はやはり「εが小さいから意味がある」のであって、この意味で、>>328の
読み方は”悪い”。間違ってはいないが、悪い。非常に悪い。
考えてもみよ。極限という概念は、素朴には「どんどん近づいていく」という概念
なのだから、”近く”がとても重要なのであり、”遠く”の方についてはチェック
しようがしまいが何ら支障が出ないように定義が出来なければならない。
「ε＞0であればどうでもいい」なんていう、近くでも遠くでも成り立っている
ことを要求する定義でうまく極限が定義できるはずが無い。
それでもうまく行っているのは、ε－δの定義は次と同値だからだ。
∃δ1＞0, 0＜∀ε＜δ1, ∃δ＞0 s.t |x－a|＜δ→|f(x)－f(a)|＜ε
これは、εの動く範囲として0の近傍だけ見ればよいと言っているのだ。あるいは、
εが”大きめ”のところはどうでもよいと言ってもよい。結局、ε－δは、遠くに
ついては何もチェックが要らないと(遠まわしに)言っているのだ。我々が心配
しなくとも、最初から「遠くの方はチェックしなくてよい」定義になっていたのだ。―(*)
だからこそ、「ε＞0であればどうでもいい」と読める定義なのに、うまく
極限という概念をコントロールできるのだ。この意味で、
「どんなに小さなε＞0に対しても」
という言い回しは脚色でも何でもなく、むしろ本質に沿った自然な言い回しではないか。
逆に言うと、「ε＞0であればどうでもいい」なんていう、近くも遠くも均一に扱う
滅茶苦茶な読み方でも通用するのは、ε－δが持つ(*)の性質の恩恵を受けているからに
過ぎない。
0330１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 19:01:40本論の出来ない奴（例：文系）に限って、
どうでも良いようなことに延々と蘊蓄を足れる。
0331１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 19:18:08「ウンチク」は不要。必要なのは「位相空間論」。
0332１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 19:33:18そして、その理由づけがあるからこそ、位相空間論は「近さ」を表す言葉としてちゃんと
機能し、>>328のように小さいか否かを見ずとも極限が扱える。
0333１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 19:44:360334１３２人目の素数さん
2008/06/09(月) 23:03:50んなことは君に言われんでも皆んな分かってるさ
でも、正確なのはあくまでも「すべてのε>0に対して」な
0335１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 00:59:151/2＜ε≦1のときも取れる
1/4＜ε≦1/2のときも取れる
1/8＜ε≦1/4のときも取れる
：
：
0336１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:11:030337１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:29:580338１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:39:16もっというと数学板の殆どのスレが否定されるな
0339１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 02:08:25DQNのためのスレでそれはないぜセニョール
0340１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 18:39:51数学科かどうかしらんけど
十中八九、将来壁にブチ当たってもがき苦しむタイプだな
0341１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 20:40:09解説でニュアンスを伝えるためにならそう書いてもいいんじゃない。
でもεδ程度でそんな助けがどうしても必要な人はどっちにしても数学系の学科は無理。
0342１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 23:00:570343１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 23:33:34数学者は無理。自明かな？
0344１３２人目の素数さん
2008/06/11(水) 02:25:12ところからはじめるといいとおもいます
それぞれのだんかいでなにをもくてきに
どのじょうたいからどんなじょうたいへ
かえようとしているのかをかきだして
どこがわからないかをはっきりさせましょう
まずはさいしょとさいごのじょうたいの
ちがいからちゅうもくするといいとおもいます
はじめとおわりとそのあいだのちがいを
はっきりさせもくてきいしきをもって
よんでいくのはろんりごうりせいのきほんです
ぬるぽ
0345１３２人目の素数さん
2008/06/14(土) 13:07:42縦読みじゃないのか
0346１３２人目の素数さん
2008/06/16(月) 05:54:55εδ論法の初学者に対する解説として「どんなに小さなεであろうとも」
と説明するのは自然な導入であり
こんなことにいちいち文句をつける>>307がそもそもおかしい。
別に「変に色つけた表現」でもなかろう。
「どんなに小さいε」程度の補足が「変に色つけた表現」になってしまうのなら、
定義そのままの書き下し以外は
たいていが「変に色つけた表現を使った解説」になってしまうぞ。
数学的に必要十分な定義、必要十分な証明というのは
それだけでは直感的体感的には「本当にそれだけでいいの？もっと条件を追加しなくていいの？」
と疑問に思えることがよくあり、それを解消・補足するために解説のレベルで言葉を加えるのは
むしろ良い事だ。
0347１３２人目の素数さん
2008/06/17(火) 00:39:58ただ実際は、数学者の共通感覚としては小さいものを足すという意味で
+εと書いたりする。
寝ぼけているので日本語が下手でゴメン。
0348１３２人目の素数さん
2008/06/17(火) 14:38:28ニュアンスが掴めない、ではお先真っ暗
0349１３２人目の素数さん
2008/06/17(火) 18:01:29どうせほとんどの者はお先真っ暗。
なるべく分かりやすく行ける所まで行かせるべきか、
早めにふるい落とされた方が本人の為か、それが問題だ。
まあεδくらいはパッと見でわかって欲しいが。
0350１３２人目の素数さん
2008/06/17(火) 22:27:130351１３２人目の素数さん
2008/06/18(水) 01:25:21別に「どんなに小さなεであろうとも」と言ってもらわなくてもεδのニュアンスなど自然に分かると思うんだが。
実際俺がそうだったし。
0352１３２人目の素数さん
2008/06/18(水) 01:38:27気がついたら分かるようになってたが平均的数学屋だと思ふ。
0353１３２人目の素数さん
2008/06/18(水) 08:52:400354１３２人目の素数さん
2008/06/20(金) 00:09:49文系の俺にも普通にわかったぞ。
0355１３２人目の素数さん
2008/06/20(金) 00:19:23文系なのに分かるって？ 威張るようなことではない。
IQ6なのに1+1が分かる。スゴいだろう褒めてくれってか？
0356１３２人目の素数さん
2008/06/27(金) 15:36:02威張っている訳でもないのかも知れん｡
「そんなわけないやろ～、ホンマお前チッチキチーやな」
と言っとるのかも。どうと言う事もない｡
>>354
そうは言うが、ε－δ論法時点の演習できるのかね？
分かると言う為には、先ずはそれが出来てからだ｡
0357１３２人目の素数さん
2008/06/27(金) 15:36:560358１３２人目の素数さん
2008/06/27(金) 15:40:03わしが褒めてつかわす。稀に見るお利口じゃ。
文keiにしておくのはもったいない。
0359１３２人目の素数さん
2008/07/01(火) 13:45:57さらっと説明してもらったほうがよっぽど分かり易いな
0360１３２人目の素数さん
2008/07/01(火) 16:02:550361１３２人目の素数さん
2008/07/08(火) 11:34:460362１３２人目の素数さん
2008/07/08(火) 14:13:58モラトリアム
0363１３２人目の素数さん
2008/07/08(火) 21:59:26つまづく奴も居るっていう事。
単に問題を解くのが好きで、公式は丸暗記とかいう奴は躓きやすい。
ま、理解できても威張る事ではない。所詮大学１年で習う程度の事だ。
0364１３２人目の素数さん
2008/07/25(金) 02:36:06本に書いてある証明や、実際に答案に書く証明は、
任意のε＞０をあたえる。ここでδ＝？？？とすれば・・・・
｜a_n - a｜＝ ・・・・＜ε （証明終）
となっていて、なんでδの値が天から降ってきたかのようにわかるんだ？と思うかもしれないが、ぶっちゃけ解く順番は逆で、
｜a_n - a｜＜ε という不等式をといて、そこでδが決まる。
でもこの順番で答案を書いてはいけない。
δ＝？？？と決めてから不等式変形をするのが論理的には正しいからだ。
これで問題は解ける。
あとは、収束の定義の概念（イメージ）、特にこの定義はどういうことを言っているのかを理解すればいい。
0365１３２人目の素数さん
2008/07/25(金) 04:01:02そうそう、ずっと不思議に思ってたんだ、それ。
そういうことかぁ。
俺にとっては、εδ論法に限らず、
値が天から降ってきたかのようなのはたくさんあるけどね。(^^ゞ
良い話を聞いたかもしれない。
ありが㌧。
0366１３２人目の素数さん
2008/07/25(金) 14:30:510367１３２人目の素数さん
2008/07/26(土) 23:34:150368β
2008/07/27(日) 14:57:060369１３２人目の素数さん
2008/07/28(月) 04:28:08だって無理だから
0370Eukie_MSHIRAISHI
2008/07/28(月) 09:43:31「あんなもん」に拘（こだわ）っていたのでは、みずみずしい直観が
損なわれること甚だしい！
# Leonhard Euler (1707-1783)は「εδ論法」によって、あの美しい
等式： e^πi＝-1 を発見したのでは、決して、ない。 なぜならば
・・・・・・・・・・からである。
【Quiz】・・・・・・・・・・を埋めよ。
i
0371β
2008/07/28(月) 17:01:550372１３２人目の素数さん
2008/07/28(月) 17:16:29で全てのものに対し、全てのものが紐ついてるってたとえばどういうのだろう？
∀x∀y st (x+y)^2>0
とかかな？
0373１３２人目の素数さん
2008/07/28(月) 23:03:25その通りだな。
ノートの端で、ちょこちょこっとδを計算して
あたかも始めから分かってましたよ？って感じでδを出現させるのがεδの証明方法だからな。
まぁ、任意記号や存在記号に慣れてないってのもあるんだろうけど。
0374１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 01:04:56（特に数学の教授）
本来論理式には不要な記号のはずなんだが。
0375１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 04:18:030376１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 06:48:3803771stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/07/29(火) 07:00:40一方、論理式と数式だけなら、より簡潔に表現できる。
そのとき、 "such that" は省略されるべきだ。
0378１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 08:13:41∀ε ∃δ ∀x∈E st f(x,ε,δ)
∀ε ∃δ ∀x∈E f(x,ε,δ)
この三つがある。
0379１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 16:14:54「ある」の省略記号として使うと、自然に such that と書きたく
なるのだろう。
0380１３２人目の素数さん
2008/07/29(火) 17:20:59良く怒られたな
0381１３２人目の素数さん
2008/07/31(木) 01:53:37http://yutori.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1217427703/
33 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [] 投稿日：2008/07/30(水) 23:31:10.71 ID:4g31mN6q0
ゲームの話題は一日30分間まで。
95 名前：1stVirtue ◆.NHnubyYck [] 投稿日：2008/07/30(水) 23:54:00.89 ID:4g31mN6q0
思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。
0382１３２人目の素数さん
2008/08/01(金) 21:27:31関数のεδはよくわからん
多分同じような考え方なんだろうが、うまく理解できん
あとこのやり方だと、なんで厳密なのかもよくわからん
リミットで良いじゃんｗ
0383１３２人目の素数さん
2008/08/01(金) 21:31:32んでεδ論法は不等式で収束を評価できるから便利。
解析の本読んでればなんでεδ使ってわざわざ証明しなきゃ
いけないのか分かるようになる。
0384１３２人目の素数さん
2008/08/01(金) 23:06:37「リミット」をどう定義するかというお話
たとえば a(1) = (1,0,0,...), a(2) = (0,1,0,...), ... のように、
a(k) を k 番目だけ 1 の数列としたときに lim_{k→∞} a(k) が
どうなるかは自明かい？
0385１３２人目の素数さん
2008/08/02(土) 00:12:25ε-δは関数の極限だよ！
0386１３２人目の素数さん
2008/08/02(土) 03:16:29関数の連続性のεδ式定義と点列式定義の同値性を考えてみたら分かりやすいんじゃない
0387１３２人目の素数さん
2008/08/02(土) 03:27:24田島先生の本とか読んでみるといいよ
直感的に理解するのはやはり具体例が一番
0388１３２人目の素数さん
2008/08/02(土) 06:16:33ワイエルシュトラス(Karl T.W. Weierstrass; 1815-1897) と その弟子の
ハイネ(Heinrich E. Heine: 1821-1881) とによって、有名な「ε-δ論法」:-
"A function f(x) approaches a limit A as x approches a if, and only if,
for each positive numberεthere is another,δ, such that whenever
0<Ix-al<δ we have lf(x)-Al<ε. ("Advanced Calculus" by David V. Wilder, p.6)"
が考案された。
しかし、これは《無限小》の存在を主張する以外の何物でもない。
一方、この方法だと、我々のみずみずしい直観を阻害すること甚だしい。
例えば、オイラー(Leonhard Euler: 1707-1783)は、あの驚くべき等式
（e^πi＝-1）を「ε-δ論法」によって発見したわけでは、決して、無い！
もっとも、オイラーの時代には、「ε-δ論法」など、知られてはいなかったのだ
が。
ヽ（＾。＾）ノ ヽ（＾。＾）ノ ヽ（＾。＾）ノ
0389１３２人目の素数さん
2008/08/02(土) 09:45:49よくわかりません
定数値関数みたいな感じ？
>>387
これか
ttp://www.amazon.co.jp/%E5%BE%AE%E5%88%86-%E7%A9%8D%E5%88%86-%E6%94%B9%E8%A8%82%E5%B7%A5%E7%A7%91%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%94%B0%E5%B3%B6-%E4%B8%80%E9%83%8E/dp/4563005304
大学の図書館行ってみるわ
検索すれば大概の本はあるんだが
タイトルが画一化してるようなやつは中々見つけれない
検索したら、ポンって下から出てくればいいのにな
数列のεNは直観的にわかるんだけどなぁ
誤認してる臭いけど
0390１３２人目の素数さん
2008/08/02(土) 11:03:38その本は読んだことないや
「解析入門」なら読んだけど
後、「イプシロン-デルタ」という本もある。これも田島先生の著書
0391１３２人目の素数さん
2008/08/03(日) 01:16:200392１３２人目の素数さん
2008/08/03(日) 10:30:27要するに、ε1に対するδをδ1、ε2に対するδをδ2としたとき
ε1＞ε2ならばδ1＞＝δ2となる、ってことだな。
これは定義から論理によって導ける。
ただし読むヒトがこれに気づけるとは限らない。
だからこのことを指摘しておくのは教育的に意味がある。
0393１３２人目の素数さん
2008/08/03(日) 10:35:45＞「すべてのεに対してあるδが存在して」の
＞意味さえ正確に理解できれば
＞別に「どんなに小さなεであろうとも」と
＞言ってもらわなくてもεδのニュアンスなど
＞自然に分かると思うんだが。
そうとは限らない。ε-δのつまづきが
∀-∃の形式だけによるとは言えないから。
つまりε-δの関係が、単なる関数ではなく
ε1＞ε2ならばδ1＞＝δ2 という制約を
もっていることに気づけないが故のつまづき
もあると思われるから。
0394１３２人目の素数さん
2008/08/03(日) 10:51:08数学的直感は、ナイーブな直感を
一旦金属バットで粉々に打ち砕いて
その破片を溶融した末にできるもの。
脳の坩堝の温度が低いと溶融しない。
0395１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 18:41:060396１３２人目の素数さん
2008/08/17(日) 02:43:32微分方程式、複素関数、フーリエ、ラプラスなど、その他の数学は一切躓かなかったが、この論法だけは何のためにやったのか謎のままｗ
0397１３２人目の素数さん
2008/08/17(日) 02:57:09単に解析の教師が糞だったんだね
0398１３２人目の素数さん
2008/09/03(水) 00:04:51概念的な扱いになれたって事じゃない？
0399１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 23:40:560400１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 08:01:550401１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 18:30:58なぜδが唐突に出てくるのが分からん。
0402１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 22:14:19たとえばf(x)=1(x=1以外、x=1だけf(x)=2)な関数があったとしよう。
高校でやるようなlimでは、x=1の近くではf(x)=1
といった言い方になるが「どのくらい近いのよ？たとえば1.1より1.01のほうが近い
1.001のほうが近い、1.000001のほうがもっと近い
こういった「1の近く」を
|x-1|<δ
と書いてるだけ
0403１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 22:32:14超準解析を かじって「モナド」を見たときにやっとスッキリした。
0404１３２人目の素数さん
2008/09/12(金) 22:57:120405１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 02:14:51↑この本はε-δ論法の理解におすすめだ。ご一読あれ。
0406１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 00:38:55先生からみると優等生ほど落ち込むから楽しいみたいだけどね。
0407１３２人目の素数さん
2008/09/20(土) 21:06:33> そうとは限らない。ε-δのつまづきが
> ∀-∃の形式だけによるとは言えないから。
などの文章を見ても
（･ε・) とか ( ´∀｀)
しか連想できません。
0408１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 17:51:46最初から教え方の上手い人に教わればすぐに理解できるが、教え方の下手な人に教わってしまうと
変に難しく考え過ぎて本質を掴むまでに却って時間がかかる。
0409１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 17:58:46講義でも１時間程度でさくっと流すし、あと演習問題解いてる内に自然に理解する
逆に言うとこんなので躓くようなら数学はおろか理系科目を専攻するに足るおつむは
もってないと断言しても良い
0410１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 18:06:120411１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 18:33:39ものごとは、そんな線形順序で並べられるものではない。
それぞれの分野には、それぞれの独特な思考方法が存在していて、
それが肌に合うか合わないかの問題にすぎない。
0412１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 20:24:150413１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 23:02:05自分で教科書読んで済むのならそもそも大学なんてものは必要なくなる。
日本の大学は学生をそういう訳の分からん突き放し方してるから優秀な研究者が育ち難いんだよ。
0414１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 23:38:05ε-δごときで教え方が悪いなんてブーたれてる奴に「混乱するくらいなら教科書じっくり読め
それでもわからないならセンスないから諦めろ」ってなもんだろ
初歩中初歩だし、これが「易しい教え方で手取り足取りじゃなくちゃボクチン理解できません」
ってのなら先行きは暗い。
0415１３２人目の素数さん
2008/09/22(月) 23:55:50εδはそれほど苦痛ではないとおもう
あとやっぱり
「論理の入り組んだ問題」とか「自然流・逆手流」とか
そういうのトコトン考えた経験は後になって効いてくる
0416１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 02:58:35>εδはそれほど苦痛ではないとおもう
εδでは連続性を不等式で記述しているが、それと「不等式の問題が好きだった奴は云々」を関連付けるのは
あまりに短絡的過ぎないか？
「高校のときにギリシャ文字が好きだった奴は
εδはそれほど苦痛ではないとおもう」
もアリになっちゃうね
0417１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 05:05:51証明の中で不等式によってはさみ込む時、
受験培った不等式の問題のテクニックがかなり役立ったんだが?
証明を組み立てる難しさもε-δの大きなハードルだろ?
0418１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 05:25:440419１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 06:42:180420１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 06:45:120421１３２人目の素数さん
2008/09/23(火) 06:47:28■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています