>>670
xのε近傍をBε(x)などと表す。

(必要)f：連続とし、任意のx∈f^(-1)(V)をとる。
f(x)∈Vであり，V:Yの開集合なので
∃ε>0 ;Bε(f(x))⊂V
f：連続という仮定からこのεに対して∃δ;
f(Bδ(x))⊂Bε(f(x))⊂V
よってBδ(x)⊂f^(-1)(V)
ゆえにf^(-1)(V)はXの開集合。

(十分)
X，Y上の距離をそれぞれdx，dyとする。x∈Xとする。
任意のε>0に対してBε(f(x))はYの開集合だから仮定よりf^(-1)(Bε(f(x)))はXの開集合。
したがって∃δ>0;
Bδ(x)⊂f^(-1)(Bε(f(x))) つまり
f(Bδ(x))⊂Bε(f(x))
ゆえに
dx(x,a)<δ⇒dy(f(x),f(a))<ε
すなわちf:連続である。