偏微分方程式の問題の途中計算の部分なのですが、
∫[-∞，∞]ｇ(u)｛∫［-∞,∞］（1/2πik）（ｅｘｐ（ik（u+vt-x））-exp（ik（u-vt-x）））dk｝du
＝（∫[x-vt,∞]g(u)du）−（∫[x+vt,∞]g(u)du）
となる理由が分かりません。

∫［-∞,∞］（1/2π）（ｅｘｐ（ik（u+vt-x））dk＝δ（u-(x+vt)）
なので
∫[-∞，∞]ｇ(u)｛∫［-∞,∞］（1/2π）（ｅｘｐ（ik（u+vt-x））dk｝＝ｇ（x-vt）
というのなら分かりますが、
この式の場合1/kがかかっているのでδ関数とみなしてよいか分かりませんし、
この際δ関数であると仮定しても、なぜｇ（x-vt）のような形ではなく積分形になるのか分かりません。