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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十三問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2008/01/07(月) 20:54:04
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ


0232１３２人目の素数さん2008/01/27(日) 23:48:28
lim[x->+0] x^x のこと？
どうやって計算させる？
0233１３２人目の素数さん2008/01/27(日) 23:52:33
>>231
「0^0≠1」のときってあるえるのか？
証明間違ってたのかもしれん、
ここにいるのが少し恥ずかしくなってきた

>>232
limを使って証明させればいける（いけた）！
……だったんだが、少し自信なくなってきた
0234１３２人目の素数さん2008/01/27(日) 23:54:25
>>233
つ0^x
0235１３２人目の素数さん2008/01/27(日) 23:56:03
>>222
一昨年仮面中に東大実戦で偽名使ったがかかってこなかった。
0236１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 00:02:02
>>234
「0^0=1」か「0^0=0」かって話だよね
そうか…「0!=1」と同じくらいばかげた話だったか

付き合ってくれた人達ありがとう(´・ω・`)
0237１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 00:06:04
0^0は極限のとり方次第で好きな実数に収束させられた気がする
0238１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 00:09:12
>>237
それに踊らされてたのか
この時期になると2年間ﾜｸﾜｸしてたんだけどな

じゃあ、万が一出るとしても>>231みたいな出題方式だな
0239アナーキスト コン2008/01/28(月) 00:20:29
うそだー(笑)
てか今年多分理科三類あしきりでおちるから来年理科一類で正しい住所書いてうけますwwwwそうすれば文理にアナーキスト コンwww
0240１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 00:21:39
>>238
すぐに例が思いつかなかったのでぐぐったら出てきた
まぁ参考程度にどうぞ
ttp://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic3/xtothex1/node2.html
0241１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 00:27:18
>>240
親切にありがとうございます。
飛んだら1回開いたことのあるページでした

何を学んだんだ、あの時の自分は。もうやだーー
0242１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 02:00:46
0243MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/28(月) 16:41:16
aは正の実数定数とする．xについての3次方程式
　x^3-3ax^2+3(a^2-1)x-a^3-1=0
の正の実数解をg(a)と定める．このとき，任意の正の実数p,qおよび0＜t＜1をみたす実数tに対して
　tg(p)+(1-t)g(q)≦g(tp+(1-t)q)
が成り立つことを示せ．
0244MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/28(月) 16:42:15
>>243は等号いりません．
0245１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 17:01:06
>>194
知能指数低そうな奴だな
0246１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 17:15:24
>>243
問題あってる？
0247MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/28(月) 22:02:44
>>246
どこか間違ってますか？
0248１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 22:19:06
>>201
東大の傾向を見れば、e<3の証明とか、log xやe^xの定義に従っての微分とかは今後出そう。
阪大は2003年に誘導つきで円周率が無理数であることの証明を出したとか。
0249１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 22:47:40
>>248
確かに、eの近似もπの近似もlog2の近似も出たし、
定義に従って公式を証明する問題も出た。
だからって、また出るかも、ってのはちょっと短絡的じゃないか。
「次に出る」ものを予想しなきゃ。次は何だ。
0250１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 22:56:04
ζ(2)とか？
0251１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 23:36:11
>>250
案外そういうのは東大はださない
0252１３２人目の素数さん2008/01/28(月) 23:40:03
>>250　札幌医大で昔でた。
0253MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/28(月) 23:47:19
ゼータだすとしてもζ(3)の近似値あたりではないかと(阪大が近いのをだしてますが)．
ζ(2)とかζ(4)は値が有名ですから東大はむしろ敬遠しそうな気がします．
0254１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 00:28:19
>>253
ζ(3)の近似の問題おもしろそうなんで作問してください
0255１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 00:54:09
（１）（正ｐ角形の一つの内角）＋（正ｑ角形の一つの内角）＋（正ｒ角形の一つの内角）＝３６０度
となる（p,q,r）の組み合わせを全て求めよ。ただし、ｐ≦ｑ≦ｒとする。


（２）正ｐ角形、正ｑ角形、正ｒ角形の３種類のタイルがたくさんある。ただし、ｐ＜ｑ＜ｒで、タイルの辺長は全て同じ。
この３種類のタイルを、一つの頂点を共有し、重ならないように並べる（※）。
このようにして並べ、平面を覆い尽くせる（p,q,r）の組み合わせは？

（３）（２）のように並べた時、正ｒ角形のタイルが占める面積は全体のどれくらいか？


（※）
全ての頂点には、三種類のタイルの頂点が集まっている。
あるタイルの頂点が、他のタイルの辺上に来るようなこともない。
0256１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 09:00:00
>>240のように０＾０は不定形だから０＾０＝１ではないと書いている人は
０＾１も不定形であることに気づいていない。
0257１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 10:17:32
>>256
普通に0であることが証明できるが。
0258１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 10:30:01
ｘ＝ｅｘｐ（－ｔ－（ｔ＾２）ｉ）。
ｙ＝１＋（１／ｔ）ｉ。
ｔ－＞＋∞のときｌｉｍ（ｘ）＝０，ｌｉｍ（ｙ）＝１。
ｘ＾ｙ＝ｅｘｐ（（－１－ｔ＾２）ｉ）。
｜ｘ＾ｙ｜＝１なのでｌｉｍ（ｘ＾ｙ）＝０にならない。
0259１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 11:02:13
正しいような。正しくないような。
0260１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 11:19:07
正しいだろ。
そもそも複素数範囲ではx≦0で定義されないし。
0261１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 11:46:54
(e^a)^b = e^(ab)
って計算が乱暴な気がする
例えば、a=2πi, b=1/2
0262１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 11:47:17
じゃあこれは？
x=(1-√3)/(1+√3)、y=(1+√3)/(1-√3)のとき、
√{(x^y)/(y^x)}を求めよ。　1998つくば国際大
0263１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 11:58:50
>>261
じゃあ0であることを証明してみろよ
0264１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 12:22:37
複素数の範囲だと x^y=exp(2πk/t-(1+t^2)i) となって
k = -[t]t ていう風にとれば x^y → 0 にはなるんだよな。
こう考えていいもんかどうかは知らんけど。
02652612008/01/29(火) 12:30:35
>>263
0^1=0 と主張した覚えはないが？
0266１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 12:41:36
>>257
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。
>普通に0であることが証明できるが。

まさか今さら別人だというつもりじゃないだろうな？
0267１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 13:08:01
複素数の範囲では |x| > 0 に対して x^y = e^(ylogx) と定義される
これは、指数関数の周期性より、log の多価性に依らず一意に定まる
でもこれは x = 0 の場合を含んでいないから、x = 0 の場合は別に定義しなくてはならない
n を正整数とすれば 0^n = (0をn回かけたもの) = 0 と解釈するのが自然な気がする
0268１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 13:10:12
任意の実数 p に対して
x(t) = exp(1/t+2π[t]i)
y(t) = 1 + i p/(2π[t])
と定義すると
lim[t→∞] x(t) = 1
lim[t→∞] y(t) = 1
x(t)^(y(t)) = exp((1/t + 2π[t]i)(1 + i p/(2π[t])))
= exp(1/t-p + i(2π[t]+p/( 2π[t]t)))
→ exp(-p)
で、1^1 が任意の値 p に収束するって言うのは ok?
0269１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 13:22:13
x^y の定義に極限持ち込むのは変だろ常考
0270１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 13:27:45
今のスレになって急に議論が増えたな
02712672008/01/29(火) 13:47:44
一意に定まらないよね、ごめんね
02722612008/01/29(火) 19:05:03
>>266
別人
0273１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 21:22:48
△ABC の外接円において、点 A の存在しない側の弧 BC の中点を D、
点 B の存在しない側の弧 CA の中点を E、点 C の存在しない側の弧 AB の中点を F とする。
△ABC と △DEF が合同となるための、 △ABC が満たすべき必要十分条件を求めよ。
0274１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 22:52:20
>>243
　(与式) = (x-a)^3 -3x-1 =0,
x=g(a) が正の実数解ならば、
　a = g(a) - {3g(a)+1}^(1/3) = h(g(a)),
ここに
　h(b) = b - (3b+1)^(1/3),
は g(a) の逆関数である。
h(b) は単調増加, h '(b) >0　　(b>0)
h(b) は下に凸, h "(b) >0　　(b>0)
∴g "(a) = h "(b) /{h '(b)}^3 > 0,
0275１３２人目の素数さん2008/01/29(火) 23:11:38
>>180
cos の3倍角公式より
　4cos(π/9)^3 -3cos(π/9) = cos(π/3) = 1/2,
したがって
　a = 1 + 2cos(π/9) = 2.879385241572… は次式の根。
　x^3 -3x^2 +1 =0,
他の2根をb,c とすると
　b = 1 + 2cos(7π/9) = -0.532088886238…
　c = 1 + 2cos(13π/9) = 0.652703644666…
いずれも絶対値が1より小さい。nが大きいとき
　a^n ≒ a^n + b^n + c^n = S_n,
S_n は対称式だから、基本対称式の整係数の多項式である。
基本対称式は 根と係数の関係から、
　s = a+b+c =3,　t = ab+bc+ca =0,　u = abc = -1,
　S_0 =3,　S_1 =s,　S_2 = s^2 -3t,　S_n = s*S_(n-1) -t*S_(n-2) +u*S_(n-3),
nについての帰納法により
　n≡0,1 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 3 (mod 9)
　n≡2,5 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 0 (mod 9)
　n≡3,4 (mod 6)　のとき　S_n ≡ 6 (mod 9)
S_2008 ≡ 6 (mod 9)　より,
答え 5.
02762742008/01/29(火) 23:20:39
274の続き

　g "(a) = －h "(b)/{h '(b)}^3 < 0　…… 上に凸.
よって、Jensenの定理より求める式を得ますだ。
0277１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 00:12:36
g''(a)が存在することを示せれば、
g(a)^3-3ag(a)^2+3(a^2-1)g(a)-a^3-1=0をaで2階微分し
g(a)>a+1をつかって、直接g''(a)<0がでますね。
0278１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 06:50:08
放物線y=ax^2+cは準線に平行に入射してきた光を一点に集束させることを証明せよ
ただし入射角は反射角に等しいことは用いてよい。
0279１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 07:08:10
準線に平行に入射する方法が分からない。
0280１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 07:09:59
そうか準線に垂直に入射だな
0281１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 09:05:57
そんな有名問題を東大が出すわけがない。
0282１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 09:57:47
>>274
よくこんなの思いつくな。でもこんな問題が入試ででたら誘導つきそう
0283１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 10:32:00
陰関数の二階導函数使えば一発やがな
0284MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/30(水) 10:58:10
>>282
幾何的に解く方法もありますし，そこまで難問じゃないですよ．
0285MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/30(水) 15:39:20
平面上に正三角形ABCがある．3本の線分AP,BP,CPの長さを3辺にもつ三角形が存在するとき，Pの存在領域を図示せよ(どのような範囲か説明してください)．
0286１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 17:29:20
外接円の円周上以外
0287１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 21:52:03
>286
　外接円とその外部、と言いますだ。
0288１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 22:00:04
思いついたので書いてみます。どこかの大学で既出な気がしますが。

関数列f_n(x)を、次により定める。
f_0(x)=logx
f_n+1(x)=∫f_n(x)dx （ただし、積分定数は0とする）
f_nを求めよ。
0289MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/01/30(水) 22:31:43
nは正の整数とする．xy平面上にA(0,0),B(2^n,0),C(2^n,1),D(0,1)を4頂点とする長方形の紙がある．
この紙を直線x=2^(n-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
この新たにできた長方形を直線x=2^(n-2)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくる．
このようにして，k回(k=1,2,…,n-1)折ってできた長方形をx=2^(n-k-1)が折り目となるように谷折りにして新たな長方形をつくっていく．
そして，n回折った後に紙を元通りに広げると，山型の折り目がついている箇所と谷型の折り目がついている箇所ができる．
(1) 谷型の折り目の個数をnで表せ．
(2) 3以上の任意のnにおいて，x=i,i+1,i+2,i+3(1≦i≦2^n-4)における折り目がすべて同じ形となるような整数iは存在しないことを示せ．
0290１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 23:03:46
本番で出たら、問題冊子のメモ部分が蛇腹な人が続出だな
0291１３２人目の素数さん2008/01/30(水) 23:33:57
>>289
東大っぽくて面白いけど問題用紙折ったら答え分かっちゃうね
論証難しそうだけど
0292１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 01:09:07
>>289
こういう問題が好きだ。
ただ、ケチをつけると、紙を何回も何回も折るというのは非現実的で、
「無理だろｗ」って突っ込みたくなる。

「ただし、紙の厚みは無視でき、紙は何回でも折ることができるものとする。」
みたいな注意書きがつきそう。
0293１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 08:51:58
>>285
一般の三角形で計算しようとしたらわけわからない３痔曲線の地獄が待っていただけだった
0294１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 21:39:57
>288
思いついたので解いてみます。どこかのスレで既出な気がしますが。

　f_n(x) = (1/n!)(x^n){log(x) - (1 +1/2 + 1/3 + …… + 1/n)},
0295１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 00:24:23
みんな新数学演習やってるか？
0296１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 12:50:14
やったけどやる必要なかった気がする
0297１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 14:41:23
sin【A（n）】＝A（n＋1）、A(1)＝sin【θ】とするとき
limA(n)　（n→∞）を求めよ。
0298１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 15:11:39
>>297
0
宿題？
0299１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 15:44:06
>298
証明は?
0300１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 15:49:28
Integrate[{30-5*exp(-t)}^(-1.5),t]
の積分の解法を教えて下さい。。。
0301１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 16:34:43
>>299
|x|≧|sinx|を利用
下に有界
簡単杉で東大じゃでねー
0302１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 18:53:27
極限値が存在するから x = sin x って高校の範囲でやっていいんだっけ？
0303１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 19:06:23
ほぼ黙認状態じゃね？
大数も堂々と使ってるし
0304１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 20:30:11
新数学演習の整数問題半分くらいじりきでとけないんだが(泣)
0305１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 20:38:14
>>304
慣れだ慣れ。知識が増えてそれが繋がって新しい結果が生み出せる
0306１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 20:57:43
>>289　ﾏﾀﾞｰ？
0307１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 21:49:23
ラマヌジャンの1729の証明って出来ますか？
0308１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 22:17:40
このスレの住人ができるはずがない・・・
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0309１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 22:35:38
1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 とかいう話？
0310１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 23:02:54
それですそれ!!
証明って出来ますか？
因みに二通りの二つの立法の和で表せる最初の数らしいです。
0311１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 23:32:29
計算オタクのラマヌジャンの証明をこの板のレベルに求めるかよ
0312１３２人目の素数さん2008/02/01(金) 23:36:21
91 = 6^3 + (-5)^3 = 4^3 + 3^3　は？
0313１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 00:23:37
>>310正のがぬけてた
0314１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 00:31:23
いろんな奴からきくんだが新数学演習完璧にしたら東大八割はいけるのかな？
まだｾｸｼｮﾝ3と1と2と15だけやってないんだが1をきょうやってて失望した(笑)
0315１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 00:38:36
完璧にしたらたぶん8割いけるよ～
逆に言えば、8割取れたら、それは完璧にしたという証だｗ
0316１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 00:43:34
>>314
俺も初めて見たときは泣きそうになった
0317１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 02:52:19
１＾２＋２＾２＋・・・＋ｎ＾２が平方数となる１以外の自然数ｎをすべて求めよ。
0318１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 19:09:36
新数演なんて難しいわけではないでしょ。
それに東大も後期はともかくとして前期はそれほど難しいわけではないだし、8割は余裕だろ
0319１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 02:09:22
『任意の自然数nがあるとき、それが奇数ならば2m-1（m≧1）をかけ1を足し、
偶数なら2で割る。この操作によって数列は有限回のうちに1に到達する。』
以上の命題がm≧3の時は成り立たないことを証明せよ。
0320１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 05:30:41
>>314
昔はもっと難しい新作理系なんらたってのがあった
当時新数学演習は標準レベル扱い
0321１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 13:55:14
>>300
　1 - (1/6)exp(-t) = v^2　とおくと dt ={2v/(1-v^2)}dv,
　(与式) = {1/(30√30)}∫2/{v^2(1-v^2)} dv
　　　= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 2/(1-v^2)} dv
　　　= {1/(30√30)}∫{2/v^2 + 1/(1+v) + 1/(1-v)} dv
　　　= {1/(30√30)}{-2/v + log|(1+v)/(1-v)| } +c,
ここに v = √{1-(1/6)exp(-t)}.
0322１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 19:06:40
実際問題理Ⅲでなければ半分も取れたら受かる（他が普通にできればの話だが）
東大に限っては数学はそこまで重要ではない

京大東工大などでは理系の最重要科目なんですが
0323１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 20:21:08
自分理科三類志望なんでwwちなみに国語がしんでますwww
0324１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 20:22:13
新作理系なんたらってのは今うってないのですか？
0325１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 20:29:31
>>319
それ、解決されている問題なのか？
0326１３２人目の素数さん2008/02/04(月) 01:38:52
>>324
売ってません。
0327１３２人目の素数さん2008/02/04(月) 11:23:08
>>307,309
fortranか何かでコードを書いて虱潰しに調べれば出来るのでは？
1から1728まで調べればいいのですから。
0328１３２人目の素数さん2008/02/04(月) 18:17:53
悔しいけどそれで出来そうだね
0329MASUDA ◆5cS5qOgH3M 2008/02/04(月) 18:30:03
n，p，qは正整数であり，p，q，pqは平方数ではないものとする．f(x)はxについてのn次の整数係数多項式であり，方程式f(x)=0は√p+√q+√(pq)を解にもつ．このとき，nの最小値を求めよ．
0330１３２人目の素数さん2008/02/04(月) 21:26:03
>>327
自分の手でやってもたいして時間はかからない
0331１３２人目の素数さん2008/02/04(月) 22:36:15
x^3+y^3 = z^3+w^3 の一般解を求めろっつうんじゃないの？
ラマンヌジャンはそこまでやってないだろうけど。
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