>>81
まずf_n(x)は0に各点収束する。
ゆえf_n(x)が[0,π/2]で一様収束するならば
f_n(x)の[0,π/2]での最大値はn→∞としたとき
0に収束しなければならない。f_n(x)の[0,π/2]での最大値を調べる。
f'(x)=-n*(sin(x))^(n+1)+(n^2)*(cos(x)^2)*(sin(x))^(n-1)
ゆえf'(x)=0となるのはn*(cos(x)^2)*(sin(x))^(n-1)=(sin(x))^(n+1)
となる時。まずsin(x)=0やcos(x)のときは
明らかに最大値を取らないので0＜x＜π/2とする。このとき
n=tan^2(x)となればよい事がわかるので
x=Arctan(√n)でf(x)が最大値を取るとわかる。このとき
f(Arctan(√n))=n*(√n)/{√(n+1)}^(n+1)で
これはn→∞で発散するのでf_n(x)は[0,π/2]で一様収束しないといえる。