>>211
たとえば x,y,z に対する重み p,q,r の加重平均は、
まず y,z に対して 重み q,r の加重平均 (q*y+r*z)/(q+r) を計算し、
次に x と (q*y+r*z)/(q+r) に対する重み p,q+r の加重平均を計算する
ことで求められます。

(p*x+q*y+r*z)/(p+q+r) = (p/(p+q+r))*x + {(q+r)/(p+q+r)}*{(q*y+r*z)/(q+r)}

同様にn個のデータに対する加重平均は、2個の加重平均の繰り返しで計算できます。
この事に着目すると、重みつきの凸不等式を数学的帰納法で証明できます。等号の
成立条件も、帰納的にわかるはずです。

なお凸関数と言っても、グラフが折れ線のような直線部分を含んでいると等号成立条件がフツウ
ではなくなるので、狭義の凸関数で考えて下さい。