p=2^x, q=2^y とおく。

p + q = p^2 + q^2
(p - 1/2)^2 + (q - 1/2)^2 = 1/2

この円と p + q = k の切片から考える。
まず直線と円が接するとき。

|1/2 + 1/2 -k| / sqrt(2) = 1 / sqrt(2)
k = 0, 2

このうち(1,1)を通るときが最大。
なぜなら，p >0, q >0 より 直線は(1,0), (0,1) を通るものより上になくてはいけないのであり、
このとき k = 1 + 0 =1

ゆえに，1 < k <= 2

最初 p > 0 忘れて，0 <= k <= 1かと思った。（>>547 thx）
もっといろいろな方法ありそうだね。