命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

E を X の任意の部分集合とする。

∫^*[X] χ_E dμ = inf { μ(U) | E ⊂ U, U は開集合 }

即ち ∫^*[X] (χ_E) dμ は E の外測度(>>17) μ^*(E) である。

証明
E が開集合のとき、>>115 より χ_E ∈ I+(X) である。
従って ∫^*[X] (χ_E) dμ = ∫[X] (χ_E) dμ = μ(E) である。
よって、この場合は本命題は成り立つ。

∫^*[X] (χ_E) dμ = +∞ とする。
U を開集合で E ⊂ U とする。
χ_E ≦ χ_U だから
∫^*[X] χ_E dμ ≦ ∫^*[X] χ_U dμ = μ(U)
よって、μ(U) = +∞
よって、この場合も本命題は成り立つ。

(続く)