代数的整数論 008
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0001１３２人目の素数さん
2007/09/09(日) 20:02:36内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良、クマーのAAなど。
過去スレ
＃001
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
＃002
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
＃003
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
＃004
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
＃005
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
＃006
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
#007
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
0153Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 13:35:44∫^*[X] (χ_E) dμ ＜ +∞ とする。
0 ＜ ε ＜ 1 となる任意の実数をとる。
χ_E ≦ h
∫[X] h dμ ＜ ∫^*[X] (χ_E) dμ + ε
となる h ∈ I+(X) がある。
U = { x ∈ X | h(x) ＞ 1 - ε}
>>114 より U は開集合である。
χ_U ≦ (1/(1 - ε))h
μ(U) = ∫[X] χ_U dμ ≦ 1/(1 - ε)∫[X] h dμ
＜ 1/(1 - ε)(∫^*[X] (χ_E) dμ + ε)
ε は任意だから、μ(U) と ∫^*[X] (χ_E) dμ の差はいくらでも
小さく出来る。
よって本命題が成り立つ。
証明終
0154Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:02:42X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
A と B をコンパクト集合で A ∩ B ≠ φ
μ(A) ＞ 0, μ(B) ＞ 0 とする。
α ＞ 0, β ＞ 0 を実数とする。
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = αμ(A) + βμ(B)
証明
>>149 より
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ
≦ α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ
>>152 より、
α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ = αμ(A) + βμ(B)
よって、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≦ αμ(A) + βμ(B)
よって、逆向きの不等式
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
を証明すればよい。
A ⊂ U_0, B ⊂ V_0, U_0 ∩ V_0 ≠ φ となる開集合 U_0, V_0 がある。
任意の ε ＞ 0 をとる。
f ∈ I+(X) で αχ_A + βχ_B ≦ f
∫[X] f dμ ＜ ∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ + ε
となるものがある。
(続く)
0155Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:03:420 ＜ δ ＜ min{α, β} となる δ をとる。
>>124 より、A ⊂ U ⊂ U_0 となる開集合 U で任意の x ∈ U に対して
f(x) ＞ α - δ となるものがある。
同様に B ⊂ V ⊂ V_0 となる開集合 V で任意の x ∈ V に対して
f(x) ＞ β - δ となるものがある。
f ≧ (α - δ)χ_U + (β - δ)χ_V である。
∫[X] f dμ ≧ ∫[X] ((α - δ)χ_U + (β - δ)χ_V) dμ
= (α - δ)μ(U) dμ + (β - δ)μ(V)
≧ αμ(A) + βμ(B) - δμ(U_0) - δμ(V_0)
初めから、
0 ＜ δ ＜ min{α, β}
δ(μ(U_0) + μ(V_0)) ＜ ε となるように δ をとっておけば、
∫[X] f dμ ＞ αμ(A) + βμ(B) - ε
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ + ε ＞ ∫[X] f dμ
＞ αμ(A) + βμ*(B) - ε
よって、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ＞ αμ(A) + βμ(B) - 2ε
ε ＞ 0 は任意だから、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
証明終
0156Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:44:41X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
A と B を可測集合で A ∩ B ≠ φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。
このとき、∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = αμ(A) + βμ(B)
証明
>>149 と >>152 より
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ
≦ α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ
= αμ(A) + βμ(B)
よって、逆向きの不等式
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
を証明すればよい。
αχ_A + βχ_B ≧ βχ_B だから
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ ∫^*[X] βχ_B dμ
よって、α = 0 または μ(A) = 0 なら命題は成り立つ。
同様に、β = 0 または μ(B) = 0 なら命題は成り立つ。
α ＞ 0, μ(A) = +∞ なら、
αχ_A + βχ_B ≦ f となる任意の f ∈ I+(X) に対して
αχ_A ≦ f だから
∫^*[X] αχ_A dμ ≦ ∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
>>152 より ∫^*[X] αχ_A dμ = αμ(A) = +∞
よって ∫[X] f dμ = +∞
よって ∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = +∞
この場合も命題は成り立つ。
同様に β ＞ 0, μ(B) = +∞ なら命題は成り立つ。
以上から、μ(A) ＞ 0, μ(B) ＞ 0, α ＞ 0, β ＞ 0 の場合に
命題を証明すればよい。
(続く)
0157Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:46:14>>56 より μ は準正則(>>37)である。
>>107 より A と B は内正則(>>19)である。
よって、任意の ε ＞ 0 に対して、
K ⊂ A, μ(K) ＞ μ(A) - ε
M ⊂ B, μ(M) ＞ μ(B) - ε
となるコンパクト集合 K, M がある。
>>154 より、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ ∫^*[X] (αχ_K + βχ_M) dμ
= αμ(K) + βμ(M) ＞ αμ(A) + βμ(B) - ε(α + β)
ε は任意だから
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
証明終
0158Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:49:29>>154
>>A と B をコンパクト集合で A ∩ B ≠ φ
A と B をコンパクト集合で A ∩ B = φ
0159Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:50:09>>156
>>A と B を可測集合で A ∩ B ≠ φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。
A と B を可測集合で A ∩ B = φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。
0160Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 15:51:43X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
f : X → [0, +∞] を任意の可測関数とする。
∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
である。
証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
s_n が存在する。
1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)
>>156 より、∫^*[X] s_n dμ = ∫[X] s_n dμ である。
Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より
∫[X] f dμ = sup ∫[X] s_n dμ
>>150 より
∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] s_n dμ = sup ∫[X] s_n dμ
よって
∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
証明終
0161Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 17:04:35X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
∫^*[X] f dμ ＜ +∞ なら f は a.e. に有限である。
証明
E = { x ∈ X | f(x) = +∞ } とおく。
任意の整数 n ＞ 0 に対して
nχ_E ≦ f であるから
nμ^*(E) ≦ ∫^*[X] f dμ ＜ +∞
よって
μ^*(E) = 0
証明終
0162Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 17:33:39X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
(f_n), n =1, 2, . . . を X から [0, +∞] への関数の列とする。
このとき、
∫^*[X] Σf_n dμ ≦ Σ ∫^*[X] f_n dμ
証明
f = Σf_n とおき、
g_n = f_1 + . . . + f_n とおく。
g_1 ≦ g_2 ≦ . . .
f = sup (g_n) である。
>>150 より
∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] g_n dμ
≦ sup (∫^*[X] f_1 dμ + . . . + ∫^*[X] f_n dμ)
= Σ ∫^*[X] f_n dμ
証明終
0163Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 17:41:02X を局所コンパクト空間とする。
M+(X) (過去スレ007の715) のある元から誘導された測度(>>36)を
Radon 測度と言う。
0164Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 17:43:34>>68 で後で気が変わるかもしれないと書いたが、その通りになった。
この言葉を導入しないと命題の条件を述べるときに
繰り返しが多くて面倒である。
0165Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 19:11:41μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から [0, +∞] への関数とする。
∫^*[X] f dμ = 0 なら f = 0 (a.e.) である。
証明
E = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } とおく。
χ_E ≦ sup{ nf | n =1, 2, . . .} ≦ Σ nf
>>162 より
∫^*[X] Σnf dμ ≦ Σ ∫^*[X] nf dμ = Σ n∫^*[X] f dμ = 0
よって >>152 より
∫^*[X] χ_E dμ = μ^*(E) = 0
証明終
0166Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 19:17:57μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K(X) (過去スレ007の708)の 元の列 (f_n), n =1, 2, . . . があり、
n → +∞ のとき ∫^*[X] |f - f_n| dμ → 0
となるとする。
このとき f はある可積分関数 g と a.e. に一致する。
証明
任意の ε ＞ 0 に対して、n_0 があり、
n ≧ n_0 なら
∫^*[X] |f - f_n| dμ ＜ ε
となる。
>>161 より f - f_n は a.e. に有限である。
よって f は a.e. に有限である。
よって、 n ≧ n_0, m ≧ n_0 なら
|f_n - f_m| = |f_n _ f + f - f_m| ≦ |f_n _ f| + |f - f_m| (a.e.)
よって、
∫[X] |f_n - f_m| dμ
≦ ∫^*[X] |f - f_n| dμ + ∫^*[X] |f - f_m| dμ ＜ 2ε
即ち、(f_n) は L^1 Cauchy 列(過去スレ007の629)である。
(続く)
0167Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 19:18:47過去スレ007の661より可積分関数 g が存在して
n → +∞ のとき ∫[X] |g - f_n| dμ → 0 となる。
よって、任意の ε ＞ 0 に対して、n_0 があり、
n ≧ n_0 なら
∫[X] |g - f_n| dμ ＜ ε
かつ
∫^*[X] |f - f_n| dμ ＜ ε
となる。
|f - g| = |f _ f_n + f_n - g| ≦ |f _ f_n| + |g - f_n| (a.e.)
∫^*[X] |f - g| dμ ≦ ∫^*[X] |f - f_n| dμ + ∫[X] |g - f_n| dμ
＜ 2ε
よって、
∫^*[X] |f - g| dμ = 0
>>165 より f = g (a.e.)
証明終
0168Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 19:30:08これは Bourbaki の方法である。
この方法を使うと Banach 空間に値を持つ関数の積分が定義出来る。
0169Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 19:45:20可測写像を定義した。
即ち、f を X から位相空間 Y への写像としたとき、
Y の任意の開集合 U に対して f^(-1)(U) ∈ Φ のとき、
f を可測という。
しかし、この定義だと、どなたかに指摘されたように
過去スレ007の281の命題が成り立たない。
即ち、
f を X から位相空間 Y への可測写像とする。
g を X から位相空間 Z への可測写像とする。
このとき、X から Y×Z への写像 h(x) = (f(x), g(x)) は、
可測とは限らない。
Y と Z がそれぞれ第２可算公理を満たせば成り立つが。
従って、一般の位相空間に値をとる写像については
可測性の定義を変える必要がある。
この定義を得るヒントは Lusin の定理(後で述べる)にある。
0170Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 20:16:41(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X ∈ Φ で μ(X) ＜ +∞ とする。
f_n, n = 1, 2, . . . は X から (-∞, +∞) への可測関数の列であり、
f = lim f_n が存在し、f も各点で有限であるとする。
任意の ε ＞ 0 と δ ＞ 0 に対して整数 n と H ∈ Φ があり
μ(H) ＜ δ
k ≧ n なら、すべての x ∈ X - H で |f(x) - f_k(x)| ＜ ε
証明
A_k = {x ∈ X | |f - f_k| ＜ ε}
B_n = ∩A_k, k ≧ n
とおく。
B_n ∈ Φ であり、
B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . .
X = ∪B_n
である。
μ(X) = lim μ(B_n) だから
μ(X) - μ(B_n) ＜ δ となる n がある。
よって
H = X - B_n とおけばよい。
証明終
0171Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 20:33:34(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X ∈ Φ で μ(X) ＜ +∞ とする。
f_n, n = 1, 2, . . . は X から [-∞, +∞] への可測関数の列であり、
a.e. に有限であるとする。
f = lim f_n が a.e. に存在し、f は a.e. に有限であるとする。
任意の ε ＞ 0 に対して E ∈ Φ が存在し、
μ(X - E) ＜ ε
E において f_n は f に一様に収束する。
証明
>>170 より 各整数 n ＞ 0 に対して、整数 k_n ＞ 0 と
H_n ∈ Φ があり、
μ(H_n) ＜ ε/2^n
k ≧ k_n なら、すべての x ∈ X - H_n で |f(x) - f_k(x)| ＜ 1/2^n
E = X - ∪H_n とおく。
μ(X - E) = μ(∪H_n) ≦ Σμ(H_n) ＜ ε
x ∈ E なら x ∈ ∩(X - H_n) だから、任意の n に対して、
k ≧ k_n なら、|f(x) - f_k(x)| ＜ 1/2^n
証明終
0172Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 20:52:34各 f_n が有限でない点全体は零集合 A_n に含まれる。
同様に、f = lim f_n が存在しない点全体も零集合 B に含まれる。
f が有限でない点全体も零集合 C に含まれる。
A = ∪A_n は零集合であるから、N = A ∪ B ∪ C は零集合である。
Y = X - N において >>170 を適用すればよい。
0173Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 22:00:57μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とし、
f を E 上の可測な単関数(過去スレ007の298) X → (-∞, ＋∞) とする。
任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。
証明
f = Σ(α_i)χ_(E_i), i = 1, . . ., n とする。
ここで、E = ∪E_i, i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。
>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より各 E_i は内正則である。
よって、任意の ε ＞ 0 に対して、
K_i ⊂ E_i, μ(E_i) - μ(K_i) ＜ ε/n
となるコンパクト集合 K_i がある。
K = ∪K_i とおく。
μ(E - K) = Σμ(E_i - K_i) ＜ ε
f の各 K_i への制限は定数なので連続である。
過去スレ007の705より
f の K = ∪K_i への制限は連続である。
証明終
0174Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 22:35:49μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とする。
f_n, n = 1, 2, . . . は E から [-∞, +∞] への可測関数の列であり、
a.e. に有限であるとする。
f = lim f_n が a.e. に存在し、f は a.e. に有限であるとする。
任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E, μ(E - K) ＜ ε
となるコンパクト集合 K が存在し、
K において f_n は f に一様に収束する。
証明
>>171 より
任意の ε ＞ 0 に対して可測集合 F で、
F ⊂ E
μ(E - F) ＜ ε/2
となるものが存在し、
F において f_n は f に一様に収束する。
>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より F は内正則である。
K ⊂ F
μ(F - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在する。
E - K = (E - F) ∪ (F - K)
μ(E - K) = μ(E - F) + μ(F - K) ＜ 2ε
よって K が求めるものである。
証明終
0175Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 22:42:33μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とし、
f を E 上の可測関数 X → (-∞, ＋∞) とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。
証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
f_n が存在する。
1) 0 ≦ f_1 ≦ f_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき f_n(x) → f(x)
>>173 より、任意の ε ＞ 0 に対して、各 n で
K_n ⊂ E
μ(E - K_n) ＜ ε/2^(n+1) となるコンパクト集合 K が存在し、
f_n は K_n で連続となる。
F = ∩K_n とおく。
E - F = ∪(E - K_n) だから
μ(E - F) ≦ Σμ(E - K_n) ＜ ε/2
F の各点 x で f(x) = lim f_n(x) だから
>>174 より K ⊂ F, μ(F - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在し、
K において f_n は f に一様に収束する。
各 f_n は K で連続だから f も K で連続である。
E - K = (E - F) ∪ (F - K)
μ(E - K) = μ(E - F) + μ(F - K) ＜ ε
よって K が求めるものである。
証明終
0176Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 22:51:27μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が次の条件を満たすとき f を測度μに関して可測または
μ-可測と言う。
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。
0177Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/15(土) 23:42:31μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f がμ-可測(>>176)であるためには次の条件が必要十分である。
K を任意のコンパクト集合とする。
任意の ε ＞ 0 に対して K_1 ⊂ K
μ(K - K_1) ＜ ε となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。
証明
この条件が必要なことは明らかである。
逆にこの条件が満たされているとする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より E は内正則である。
任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在する。
K_1 ⊂ K
μ(K - K_1) ＜ ε/2 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。
E - K_1 = (E - K) ∪ (K - K_1) であるから
μ(E - K_1) = μ(E - K) + μ(K - K_1) ＜ 2ε
よって、f はμ-可測である。
証明終
0178Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 00:18:17μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が可測なら、K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。
証明
>>177 より、
K_1 ⊂ K で μ(K - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。
K - K_1 はコンパクトだから再び >>177 より K_2 ⊂ K - K_1 で
μ(K - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となる
コンパクト集合 K_2 が存在し、f は K_2 で連続となる。
この操作を続けて(帰納法により)、
μ(K - (K_1 ∪ . . . ∪K_n)) ＜ 1/n となる互いに交わらない
コンパクト集合の列 (K_n) で f は各 K_n で連続となるようなものが
存在する。
F_n = K - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = K - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(K - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = K - ∪K_n とすればよい。
証明終
0179Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 00:43:20μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が次の条件を満たせば f は可測(>>176)である。
K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。
証明
F_n = K_1 ∪ . . . ∪K_n とおく。
F_n はコンパクトであり、
F_1 ⊂ F_2 ⊂ . . .
∪F_n = ∪K_n である。
よって、lim μ(K_n) = μ(∪K_n) = μ(K - N) = μ(K)
よって、任意の ε ＞ 0 に対して
μ(K - F_n) ＜ ε となる n がある。
f の各 K_n への制限が連続であるから
過去スレ007の705より f は F_n で連続となる。
従って >>177 より f は可測である。
証明終
0180Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 10:24:09μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への可測写像とする。
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
零集合 N ⊂ E と E 含まれるコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で E - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。
証明
>>176 より、
K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。
μ(E - K_1) ＜ 1 だから再び >>176 より K_2 ⊂ E - K_1 で
μ(E - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在し、
f は K_2 で連続となる。
この操作を続けて(帰納法により)、
μ(E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n)) ＜ 1/n となる互いに交わらない
コンパクト集合の列 (K_n) で f は各 K_n で連続となるようなものが
存在する。
F_n = E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = E - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(E - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終
0181Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 11:28:00考える。
可測写像については、すぐ再開する。
0182Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 11:29:18A を位相空間の部分集合とする。
A の各点 x ∈ A に対して x の(開集合とは限らない)近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となるとき A を局所閉集合と言う。
0183Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 11:40:06A を位相空間 X の局所閉集合(>>182)とする。
A の各点 x ∈ A に対して x の開近傍 U が存在し、
A ∩ U が U の閉集合となる。
証明
A の各点 x ∈ A に対して x の(開集合とは限らない)近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となる。
x ∈ U ⊂ V となる開集合 U がある。
A ∩ U = (A ∩ V) ∩ U は U の閉集合である。
証明終
0184Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 12:05:35A を位相空間 X の部分集合とする。
次の条件は同値である。
(1) A は局所閉集合(>>182)。
(2) A は A の閉包 A~ の開集合。
(3) A は開集合と閉集合の共通部分である。
証明
(1) ⇒ (2)
>>183 より、
A の各点 x ∈ A に対して x の開近傍 U_x が存在し、
A ∩ U_x が U_x の閉集合となる。
よって A ∩ U_x = A~ ∩ U_x
U = ∪{U_x | x ∈ A } とおく。
U は開集合で A ⊂ U であり、
A = A ∩ U = ∪(A ∩ U_x) = ∪(A~ ∩ U_x) = A~ ∩ U
すなわち、A は A~ の開集合である。
(2) ⇒ (3)
自明である。
(3) ⇒ (1)
A = U ∩ F となる開集合 U と閉集合 F があるとする。
A の各点 x ∈ A に対して U は x の開近傍であり、
A ∩ U = U ∩ F は U の閉集合となる。
証明終
0185Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 12:12:21ハウスドルフ位相空間 X の局所コンパクト部分空間 A は
局所閉(>>182)である。
証明
A の各点 x ∈ A に対して x の近傍 V が存在し、
A ∩ V が V のコンパクト集合となる。
V はハウスドルフだから A ∩ V は V の閉集合である。
証明終
0186Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 12:18:56局所コンパクト空間 X の局所閉集合(>>182) A は
局所コンパクトである。
証明
A の各点 x ∈ A に対して x の近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となる。
x の X におけるコンパクト近傍 W ⊂ V をとる。
x の A における近傍 A ∩ W = (A ∩ V) ∩ W は
W の閉集合だからコンパクトである。
証明終
0187Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 12:42:27X を位相空間とし、Y を X の Borel 集合(過去スレ007の212)とする。
X の Borel 集合全体を B(X) と書く。
Y を位相空間とみて、その Borel 集合全体を B(Y) と書く。
このとき、
B(Y) = { E ⊂ Y | E ∈ B(X) }
証明
Ω を X の開集合全体とする。
Ω を含む最小のσ-集合環(過去スレ007の197)を S(Ω) と書いた(>>94)。
B(X) = S(Ω) である。
>>95 より
S(Ω) ∩ Y = S(Ω ∩ Y) である。
Ω ∩ Y は Y の開集合全体だから B(Y) = S(Ω ∩ Y) である。
Y は Borel 集合だから S(Ω) ∩ Y = { E ⊂ Y | E ∈ B(X) }
証明終
0188Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 13:50:09X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
a を X の点とする。
c ＞ f(a) となる任意の有限実数 c に対して a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＞ f(x)
となるとき、f は a で上半連続であると言う。
f が X の各点で上半連続であるとき、 f を X 上で上半連続である
と言う。
0189Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 13:52:08X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
f が X 上で上半連続(>>188)であるためには、任意の (有限) 実数 c に
対して、{x ∈ X | f(x) ＜ c } が開集合であることが必要十分である。
証明
自明である。
0190Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 14:00:14X を位相空間、f を X から R~ = [-∞, +∞] への関数とする。
f が X 上で上半連続(>>188)であるためには、任意の (有限) 実数 c に
対して、{x ∈ X | f(x) ≧ c } が閉集合であることが必要十分である。
証明
>>189 より明らかである。
0191Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 14:03:48X を位相空間、A を X の部分集合とする。
A の特性関数 χ_A が上半連続(>>188)であるためには、
A が閉集合であることが必要十分である。
証明
c ＞ 1 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ≧ c } = φ
1 ≧ c ＞ 0 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ≧ c } = A
0 ≧ c のとき {x ∈ X | χ_A(x) ≧ c } = X
これと >>190 から明らかである。
証明終
0192Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 14:07:16X を位相空間、(f_λ), λ ∈ Λ を X から R~ = [-∞, +∞] への
上半連続関数(>>188)の族とする。
f = inf {f_λ | λ ∈ Λ} は上半連続である。
証明
任意の a ∈ X を固定する。
f(a) = +∞ のとき、c ＞ f(a) となる(有限) 実数は存在しない。
よってこの場合は自明である。
f(a) ≠ +∞ のとき c を c ＞ f(a) となる任意の(有限) 実数とする
c ＞ f_λ(a) ≧ f(a) となる λ ∈ Λ がある。
a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＞ f_λ(x) ≧ f(x)
証明終
0193Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 14:41:48X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から [0, +∞] への可積分関数とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、f ≦ h となる下半連続関数(>>113)が
存在して
∫[X] (h - f) dμ ＜ ε となる。
証明
>>160 より、
∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
>>146 より、
∫^*[X] f dμ = inf{ ∫[X] h dμ | f ≦ h, h ∈ I+(X) }
∫[X] f dμ ＜ +∞ だから
∫[X] h dμ ＜ ∫[X] f dμ + ε
f ≦ h
となる下半連続関数 h が存在する。
このとき、
∫[X] (h - f) dμ ＜ ε である。
証明終
0194Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 15:07:01X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
s を [0, +∞) に値をとる可積分な単関数(過去スレ007の298)とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、g ≦ s となるコンパクトな台をもつ
上半連続関数(>>188) g が存在して
∫[X] (s - g) dμ ＜ ε となる。
証明
s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n
a_i ＞ 0
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。
M = max{a_1, . . . , a_n} とおく。
s は可積分だから、各 μ(E_i) ＜ +∞ である。
>>30 より 各 E_i は内正則である。
よって、各 i で、
K_i ⊂ E_i
μ(E_i) - μ(K_i) ＜ ε/nM
となるコンパクト集合 K_i が存在する。
g = Σ(a_i)χ_(K_i) は上半連続関数である。
∫[X] (s - g) dμ = ∫[X] s dμ - ∫[X] g dμ
≦ Σ(a_i)(μ(E_i) - μ(K_i))
＜ (Σa_i)ε/nM ≦ ε
証明終
0195Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 15:17:24X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から [0, +∞] への可積分関数とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、
g ≦ f となるコンパクトな台をもつ上半連続関数(>>188) g が存在して
∫[X] (f - g) dμ ＜ ε となる。
証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
s_n が存在する。
1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)
Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より
n → ∞ のとき ∫[X] s_n dμ → ∫[X] f dμ
f は可積分だから 各 s_n も可積分である。
任意の ε ＞ 0 に対して、
∫[X] (f - s_n) dμ ＜ ε/2 となる n がある。
>>194 より、g ≦ s_n となるコンパクトな台をもつ
上半連続関数 g が存在して
∫[X] (s_n - g) dμ ＜ ε/2 となる。
∫[X] (f - g) dμ = ∫[X] (f - s_n) dμ + ∫[X] (s_n - g) dμ ＜ ε
証明終
0196Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 20:12:34X を局所コンパクト空間とし、Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
g ∈ K+(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を h とする。
h は上半連続(>>188)である。
証明
a を X の点とする。
c ＞ h(a) となる任意の有限実数 c をとる。
h(a) ≧ 0 だから c ＞ 0 である。
a ∈ X - Supp(h) なら a の近傍 U で U ⊂ X - Supp(h)
となるものがある。
x ∈ U のとき h(x) = 0 だから c ＞ h(x)
a ∈ Supp(h) なら g は a で連続だから
a の近傍 U で x ∈ U ∩ Y なら c ＞ h(x) となるものがある。
x ∈ U - Y なら h(x) = 0 だから c ＞ h(x) である。
以上から h は上半連続である。
証明終
0197１３２人目の素数さん
2007/09/16(日) 20:28:01non-archimedean local field 上の線型代数群の表現論を
分りやすく纏めてくれ。
0198Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/16(日) 20:41:57X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を h とする。
h は可積分である。
証明
一般に、f ∈ K(Y) に対して
Y では f に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(f) と書こう。
g^(+) = sup{g, 0}
g^(-) = sup{-g, 0}
と書く。
g^(+) ∈ K+(Y)
g^(-) ∈ K+(Y)
g = g^(+) - g^(-)
となる。
e(g) = e(g^(+)) - e(g^(-))
e(g^(+)) と e(g^(-)) は >>196 より上半連続で
コンパクトな台を持ち有界であるから可積分である。
よって、
h = e(g) も可積分である。
証明終
0199Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 10:41:48X を局所コンパクト空間とする。
K をそのコンパクト集合とする。
χ_K = inf { f ∈ K+(X) | χ_K ≦ f }
証明
過去スレ007の702より局所コンパクト空間は正則である。
従って、
x ∈ X - K のとき
K ⊂ U
x ∈ X - U となる開集合 U がある。
過去スレ007の706より
f ∈ K+(X), 0 ≦ f ≦ 1 で K で 1、X - U で 0 となるものが
存在する。
x ∈ K のときは、
過去スレ007の706より
f ∈ K+(X), 0 ≦ f ≦ 1 で K で 1 となるものが存在する。
以上から命題が成り立つ。
証明終
0200Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 10:59:02X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
H を X 上の [0, +∞) に値をとる
可積分かつ上半連続関数(>>188)の下向きの有向集合(>>140)で、
空でないものとする。
g = inf { f | f ∈ H } は可積分で、
∫[X] g dμ = inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }
証明
H の任意の元 f_0 をとり、 H を { f ∈ H | f ≦ f_0 } で
置き換えてよい。
即ち、H に最大元 f_0 があると仮定してよい。
>>193 より、f_0 ≦ h となる可積分な下半連続関数 h が存在する。
G = { h - f | f ∈ H }
とおく。
G の元 h - f ≧ 0 は下半連続関数であり、
G は上向きの有向集合である。
sup { h - f | f ∈ H } = h - g
>>144 より
∫[X] (h - g) dμ = sup { ∫[X] (h - f) dμ | f ∈ H } となる。
よって、
∫[X] h dμ - ∫[X] g dμ
= ∫[X] h dμ - inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }
よって
∫[X] g dμ = inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }
証明終
0201数学科生 ◆TH7FFIY7jg
2007/09/17(月) 11:02:57クマーさんは、解析などの基礎は万全でしょうか｡
当方、テキスト選びに苦戦していて、何をするべきか悩んでいます
0202Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 11:05:35X を局所コンパクト
命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。
K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = inf { ∫[X] e(g) dμ | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }
証明
>>199 より
Y において
χ_K = inf { g ∈ K+(Y) | χ_K ≦ g }
よって
X において
χ_K = inf { e(g) | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }
{ e(g) | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) } は下に有向で、各 e(g) は
>>196 より上半連続(>>188)である。
>>200 より
∫[X] χ_K dμ = inf {∫[X] e(g) dμ | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }
∫[X] χ_K dμ = μ(K) だから命題が得られる。
証明終
0203Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 11:10:36杉浦で十分だと思います。
0204Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 11:22:45X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。
Φ を μ-可測な集合全体とする。
過去スレ007の260 より Φ|Y = { A ⊂ Y; A ∈ Φ} は
σ-集合環(過去スレ007の197)である。
μ を Φ|Y に制限したものを μ|Y と書く。
(Y, Φ|Y, μ|Y) は測度空間になる。
0205Foo ◆p5Ne5aK0Lg
2007/09/17(月) 13:15:06杉浦は変な癖があって読みづらい。
Walter Rudin
Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed.
昔はinternational edition が3000円くらいで買えたと記憶しているんだけど
Amazon で一万円近くになっていた。微積分なのに。図書館でチェキラ。
0206Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 13:32:33大同小異でしょう。
いずれにしても、ここでやる微積分は Bourbaki 流に再構築するので、
伝統的な微積分の知識は最小限でいいです。
理想を言うと Bourbaki の多様体論の要約のように
(アルキメスおよび非アルキメス的)絶対値の付いた体上の
ノルム空間または局所凸な線形位相空間上で微積分および
(多変数を含む)複素関数論をやればいいのでしょうが。
しかし、この方向に関する書物は少ないですね。
0207１３２人目の素数さん
2007/09/17(月) 13:52:180208Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 13:53:17X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X のコンパクトとする。
μ|Y (>>204) は準正則(>>40)である。
証明
E を Y の任意の開集合とする。
E は μ-可測であり、μ(E) ＜ +∞
従って、>>70 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
即ち、
μ(E) = sup {μ(K) | K ⊂ E, K はコンパクト }
従って、E は μ|Y に関して内正則である。
A を Y に含まれる μ-可測集合とする。
U を A ⊂ U となる X の開集合とすると、
A ⊂ Y ∩ U だから μ(A) ≦ μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
もちろん、μ は外正則だから、
μ(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
= inf { μ(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
即ち、A は μ|Y に関してても外正則である。
以上から μ|Y は準正則である。
証明終
0209Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 13:54:140210１３２人目の素数さん
2007/09/17(月) 14:21:47この分野は専攻外だけど俺も見てるし。
0211Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 17:13:07>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
0212Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 17:17:41X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X のコンパクト集合とする。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。
g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。
L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。
A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y とする。
μ(A) = ν(A) である。
証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
もちろん、ν は B(Y) で定義される。
>>56 より ν は準正則である。
>>208 より μ|Y は準正則である。
>>202 より K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = ν(K)
よって、>>45 より命題が成り立つ。
証明終
0213Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 18:00:27X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。
Y が可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら
μ|Y (>>204) は準正則(>>40)である。
証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
μ|Y が外正則なことは >>208 の証明と同様である。
E を Y の任意の開集合としたとき E が μ|Y に関して内正則である
ことを示せばよい。
Y ⊂ ∪K_n となるコンパクト集合の列 K_n, n = 1, 2, . . .がある。
E_n = E ∩ K_n とおくと
E = ∪E_n となる。
各 μ(E_n) ＜ +∞ だから E は
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつ。
従って、>>107 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
K ⊂ E となる X のコンパクト集合 K は Y においてもコンパクト
である。
従って、E は μ|Y に関しても内正則である。
証明終
0214Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 18:02:32X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。
g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。
L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。
A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y とする。
μ(A) = ν(A) である。
証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
もちろん、ν は B(Y) で定義される。
>>56 より ν は準正則である。
>>213 より μ|Y は準正則である。
>>202 より K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = ν(K)
よって、>>45 より命題が成り立つ。
証明終
0215Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 18:05:08命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。
g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。
L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。
A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y とする。
μ(A) = ν(A) である。
証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。
もちろん、ν は B(Y) で定義される。
>>56 より ν は準正則である。
>>213 より μ|Y は準正則である。
>>202 より K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = ν(K)
よって、>>45 より命題が成り立つ。
証明終
0216Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 18:29:44X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合で σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。
このとき、
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合である。
証明
>>107 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在する。
E - K_1 はσ-有限な測度もつから内正則である。
K_2 ⊂ K - K_1 で
μ(E - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在する。
この操作を続けて(帰納法により)、
各整数 n ＞ 0 に対して、
μ(E - (K_1 ∪ . . . ∪ K_n)) ＜ 1/n となるように
コンパクト集合 K_n ⊂ E がとれる。
F_n = E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = E - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(E - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終
0217Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 19:17:33X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。
g ∈ K(Y) に ∫[X] e(g) dμ を対応させる写像 L は
K(Y) から実数体 R への線形写像であり、
g ≧ 0 なら ∫[X] e(g) dμ ≧ 0 である。
即ち L ∈ M+(Y) (過去スレ007の714) である。
L から誘導された Y 上の測度(>>36)を ν とする。
E ⊂ Y で μ(E) = 0 なら E は ν-可測で
ν(E) = 0 である。
証明
>>56 より μ は準正則である。
よって、
μ(E) = inf { μ(U) | E ⊂ U, U は開集合 }
μ(E) = 0 だから、任意の ε ＞ 0 に対して
E ⊂ U, μ(U) ＜ ε となる開集合 U がある。
E ⊂ U ∩ Y で μ(U ∩ Y) ＜ ε である。
>>214 より μ(U ∩ Y) = ν(U ∩ Y) である。
従って、E の L から誘導された外測度は 0 である。
よって、 >>53 より E は ν-可測で ν(E) = 0 である。
証明終
0218Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 19:52:48>>217 の条件の下で、
ν-可測な集合全体と Y に含まれる μ-可測な集合全体は
一致することを証明したい。
しかし、今のところどうもうまくいかない。
Bourbaki には証明されているが。
Bourbaki によると、Y が可算個のコンパクト集合の合併に
含まれている必要はない。
0220１３２人目の素数さん
2007/09/17(月) 21:13:160221Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 21:40:54X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された Radon 測度(>>163)とする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。
A を X の任意の部分集合とする。
μ^*(A) = inf { μ(E) | A ⊂ E, E は可測集合 }
証明
定義(>>17)から
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は開集合}
α = inf { μ(E) | A ⊂ E, E は可測集合 } とおく。
α ≦ μ^*(A) である。
従って、α ≧ μ^*(A) を証明すればよい。
α = +∞ なら、これは明らかだから
α ＜ +∞ と仮定する。
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - α ＜ ε
となる可測集合 E がある。
E は外正則だから、
E ⊂ U
μ(U) - μ(E) ＜ ε/2
となる開集合 U がある。
よって、
μ(U) - α = (μ(U) - μ(E)) + (μ(E) - α) ＜ ε
証明終
0222Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 22:32:10X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測なら A は μ-準可測(>>61)である。
証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。
>>56 より ν は準正則である。
よって、ν(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
一方、μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν(A) ≦ μ^*(A) である。
E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν(A) = μ^*(A)
他方、>>107 より A は μ-内正則である。
A の μ-内測度は >>215 より ν(A) である。
よって、A は μ-準可測である。
証明終
0223Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 23:00:17μ(E) - ν(A) ＜ ε には
ν(A) ＜ +∞ という仮定を暗黙のうちに使ってる。
どうも測度論では、測度が有限の場合と無限の場合の区別が
面倒である。
0224Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 23:03:590225Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 23:05:02X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、あるコンパクト集合に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測なら A は μ-準可測(>>61)である。
証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。
>>56 より ν は準正則である。
よって、ν(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
一方、μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν(A) ≦ μ^*(A) である。
E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν(A) = μ^*(A)
他方、>>107 より A は μ-内正則である。
A の μ-内測度は >>215 より ν(A) である。
よって、A は μ-準可測である。
証明終
0226Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 23:22:07X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、あるコンパクト集合に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y を Y の任意の部分集合とする。
A の ν-外測度(>>17)と μ-外測度は一致し、
A の ν-内測度(>>60)と μ-内測度も一致する。
証明
ν^*(A) と μ^*(A) をそれぞれ A の ν-外測度と μ-外測度とする。
ν^*(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν^*(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν^*(A) ≦ μ^*(A) である。
E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν^*(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν^*(A) = μ^*(A)
A の ν-内測度と μ-内測度が一致することは、
>>215 から明らかである。
証明終
0227Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/17(月) 23:26:16X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、あるコンパクト集合に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測であるためには A が μ-可測であることが
必要十分である。
証明
>>226 と >>64 から明らかである。
0228Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 00:35:22X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A を X の Borel 集合(過去スレ007の212)で A ⊂ Y で
A は X のあるコンパクト集合 K に含まれるとする。
μ(A) = ν(A) である。
証明
Y ∩ K は X の局所閉集合である。
Y ∩ K は Y の閉集合だから Y の局所閉集合でもある。
>>213 より μ|(Y ∩ K) は準正則である。
>>213 より ν|(Y ∩ K) は準正則である。
>>202 より H ⊂ Y ∩ K をコンパクト集合とすると、
μ(H) = ν(H)
>>45 より
μ(A) = ν(A) である。
証明終
0229Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 01:11:05X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y で A は X のあるコンパクト集合 K に含まれるとする。
A の ν-外測度(>>17)と μ-外測度は一致し、
A の ν-内測度(>>60)と μ-内測度も一致する。
証明
ν^*(A) と μ^*(A) をそれぞれ A の ν-外測度と μ-外測度とする。
ν^*(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>228 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν^*(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν^*(A) ≦ μ^*(A) である。
E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν^*(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν^*(A) = μ^*(A)
他方、>>202 より H ⊂ Y ∩ K をコンパクト集合とすると、
μ(H) = ν(H)
A の ν-内測度と μ-内測度が一致することは、これから明らかである。
証明終
0230Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 01:22:03X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測であるためには A が μ-可測であることが
必要十分である。
証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
任意のコンパクト集合 K に対して
A ∩ K は ν-可測である。
従って、A ∩ K のν-外測度と ν-内測度は一致する。
>>229 より、A ∩ K のμ-外測度と μ-内測度は一致する。
>>65 より A はμ-可測である。
逆に、A ⊂ Y が μ-可測であるとする。
任意のコンパクト集合 K に対して
A ∩ K は μ-可測である。
従って、A ∩ K のμ-外測度と μ-内測度は一致する。
>>229 より、A ∩ K のν-外測度と ν-内測度は一致する。
>>65 より A はν-可測である。
証明終
0232Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 01:37:57X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が X の可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
A が ν-可測またはμ-可測なら A はν-可測かつμ-可測であり、
ν(A) = μ(A) である。
証明
>>230 より、A が ν-可測またはμ-可測なら
A はν-可測かつμ-可測である。
A ⊂ ∪K_n となる X のコンパクト集合の列 K_n, n = 1, 2, . . .
があるとする。
K_1 ⊂ K_2 ⊂ . . . と仮定してよい。
A = ∪(A ∩ K_n) である。
>>229 より ν(A ∩ K_n) = μ(A ∩ K_n) である。
ν(A) = lim ν(A ∩ K_n) = lim μ(A ∩ K_n) = μ(A)
証明終
0233Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 01:45:49X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
μ|Y (>>204) と ν は一致する。
証明
>>232 より明らかである。
0234Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 01:49:55>ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
>>217 では Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれると
仮定しているが、ν の定義にはこの仮定は必要ない。
0235Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 09:57:25X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
A が X の局所零集合(>>58)で(従って、>>59 より可測)、
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。
A は零集合(>>58)である。
証明
>>216 より、
A = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合である。
各 μ(K_n) = 0 だから μ(A) = 0
証明終
0236Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 10:01:14X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
X の開集合 U が局所零集合(>>58)なら U は零集合(>>58)である。
証明
>>56 より μ は準正則である。
よって、
μ(U) = sup {μ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } = 0
証明終
0237Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 10:38:41X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f の不連続点全体 N が局所零集合(>>58)なら ｆ は可測(>>176)である。
証明
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
>>73 より E - (E ∩ N) は内正則である。
任意の ε ＞ 0 に対して
μ(E - (E ∩ N)) - μ(K)= ＜ ε
K ⊂ E - (E ∩ N)
となるコンパクト集合 K がある。
μ(E - (E ∩ N)) = μ(E) だから
μ(E) - μ(K)= ＜ ε
f は K で連続である。
よって、f は可測である。
証明終
0238Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 10:47:57X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
X の点に関するある命題 P が与えられたとする。
ある局所零集合(>>58) N があり、 X - N の各点 x で P が
成り立つとき、
P は、局所ほとんど到る所(locally almost everywhere)成り立つという。
「局所ほとんど到る所」を 局所 a.e. と略す場合がある。
0239Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 10:59:59X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 Y への写像とする。
g を X から位相空間 Z への写像とする。
f と g がそれぞれ可測(>>176)なら
X から Y×Z への写像 h(x) = (f(x), g(x)) も可測である。
証明
E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
任意の ε ＞ 0 に対して
K_1 ⊂ E
μ(E - K_1) ＜ ε/2 となるコンパクト集合 K_1 が存在し、
f は K_1 で連続となる。
K_2 ⊂ E
μ(E - K_2) ＜ ε/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在し、
g は K_2 で連続となる。
μ(E - (K_1 ∩ K_2)) = μ((E - K_1) ∪ (E - K_2))
≦ μ(E - K_1) + μ(E - K_2) ＜ ε
f と g は K_1 ∩ K_2 で連続である。
従って、h も K_1 ∩ K_2 で連続である。
証明終
0241Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 11:14:43X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F と G を位相空間とする。
f : X → F を可測(>>176)写像、
g : F → G を連続写像とする。
gf: X → G は可測である。
証明
可測性の定義(>>176)から明らかである。
0242Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 11:15:52X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体 R または複素数体 C とする。
f と g を X から K 上の位相線形空間 F への可測写像(>>176)とする。
f + g および αf (α は K の任意の元)も可測である。
証明
>>239 と >>241 より明らかである。
0243Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 11:23:33(X, Φ) を可測空間(過去スレ007の211)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f(X) が F の有限集合であるとき f を単関数という。
0244Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 11:43:42μ(E) が有限であると暗黙に仮定している。
0245Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 11:55:23X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合で有限な測度をもつとする。
このとき、
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。
証明
>>73 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
K_1 ⊂ E で μ(E - K_1) ＜ 1 となるコンパクト集合 K_1 が存在する。
E - K_1 は有限な測度もつから内正則である。
K_2 ⊂ K - K_1 で
μ(E - (K_1 ∪ K_2)) ＜ 1/2 となるコンパクト集合 K_2 が存在する。
この操作を続けて(帰納法により)、
各整数 n ＞ 0 に対して、
μ(E - (K_1 ∪ . . . ∪ K_n)) ＜ 1/n となるように
コンパクト集合 K_n ⊂ E がとれる。
F_n = E - (K_1 ∪ . . . ∪K_n) とおくと
F_1 ⊃ F_2 ⊃ . . .
となり
∩F_n = E - ∪K_n である。
従って過去スレ007の327より、
μ(E - ∪K_n) = lim μ(F_n) = lim 1/n = 0
N = E - ∪K_n とすればよい。
証明終
0246Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 12:03:33命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合で σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。
このとき、
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。
証明
E = E_1 ∪ E_2 ∪ . . . で i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ
となる。
ここで 各 E_i は可測で各 E_i の測度は有限である。
>>245 より、各 i に対して、
E_i = N_i ∪ F_i, N_i ∩ F_i = φ
μ(N_i) = 0
F_i = ∪K_(i,n), n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_(i,n) はコンパクト集合で
n ≠ m なら K_(i,n) ∩ K_(i,m) = φ
である。
N = ∪N_i
F = ∪F_i
とおき、K_(i,n) の添字を付け替えればよい。
証明終
0247Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 12:10:50命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
A が X の局所零集合(>>58)で(従って、>>59 より可測)、
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつとする。
A は零集合(>>58)である。
証明
>>246 より、
A = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合である。
各 μ(K_n) = 0 だから μ(A) = 0
証明終
0248Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 12:29:56X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を可測集合とする。
E の特性関数 χ_E は >>176 の意味で可測である。
証明
>>245 より
E = N ∪ F, N ∩ F = φ
μ(N) = 0
F = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。
K を X の任意のコンパクト集合とする。
>>245 より
K = (E ∩ K) ∪ (K - E)
E ∩ K = N_1 ∪ F_1, N_1 ∩ F_1 = φ
μ(N_1) = 0
F_1 = ∪K_n, n = 1, 2, . . .
ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。
K - E = N_2 ∪ F_2, N_2 ∩ F_2 = φ
μ(N_2) = 0
F_2 = ∪H_n, n = 1, 2, . . . と表される。
ここで、各 H_n はコンパクト集合で i ≠ j なら H_i ∩ H_j = φ
である。
χ_E は各 K_n で定数 1 だから連続である。
各 H_n で定数 0 だから連続である。
>>179 より χ_E は >>176 の意味で可測である。
証明終
0249Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 12:48:34X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への可測写像(>>176)とする。
F の閉集合の f による逆像は可測集合になる。
F の開集合の f による逆像は可測集合になる。
証明
A を f の閉集合とする。
>>178 より、
K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。
f^(-1)(A) ∩ K = (N ∩ f^(-1)(A)) ∪ (K_n ∩ f^(-1)(A))
各 K_n ∩ f^(-1)(A) は閉集合だから可測である。
N ∩ f^(-1)(A) は零集合である。
従って、f^(-1)(A) ∩ K は可測である。
>>57 より f^(-1)(A) は可測である。
F の開集合 U に対して、F - U は閉集合だから
X - f^(-1)(U) = f^(-1)(F - U)
は可測である。
X は開集合であり可測だから、f^(-1)(U) も可測である。
証明終
0250Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 12:51:15X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
E を X の部分集合とする。
E の特性関数 χ_E が >>176 の意味で可測なら E は可測である。
証明
E は 1 の χ_E による逆像だから >>249 より可測集合になる。
0251Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 12:58:15X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が単関数(>>243)で、F の各点の f による逆像が可測なとき、
f を強可測な単関数と言う。
0252Kummer ◆g2BU0D6YN2
2007/09/18(火) 13:22:31X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への写像とする。
f が強可測な単関数(>>251)なら f は可測である。
証明
f(X) = {a_1, . . ., a_n} とし、
A_i = f^(-1)(a_i) とおく。
X = ∪A_i である。
K = ∪(K ∩ A_i)
A_i は可測だから K ∩ A_i は可測
>>245 より
零集合 N_i ⊂ K ∩ A_i と K ∩ A_i 含まれるコンパクト集合の
(有限または無限の)列 (K_(i,n)) で (K ∩ A_i) - N_i = ∪K_(i,n) で、
n ≠ m なら K_(i,n) ∩ K_(i,m) = φ となる
ものがあり、f の各 K_(i,n) への制限は定数だから連続になる。
>>179 より f は可測である。
証明終
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