>>919
n番目までの3k+1型の素数をP_1,…,P_nと書くことにする。
P_1*P_2*…*P_n=x　とおき、x^2+x+1という数を考える。
これはP_1,…,P_nでは割り切れない。
x^2+x+1は3で割り切れるが、明らかに3より大きいので
3でない素因数Pを持つ。法Pで考えると
x^2+x+1≡0 mod P となるので両辺にx-1をかければ
x^3≡1 mod Pが成り立つ事がわかる。
xは法Pで1と合同ではないので法Pの既約剰余類のなす乗法群が
位数3の元を持っていることを示している。
よって法Pの既約剰余類のなす乗法群の位数は3で割り切れる。
すなわちP-1が3で割り切れるという事なのでPは3k+1型の素数。
PはP_1,…,P_nとは異なるのでn+1番目以降の3k+1型の素数とわかる。
以上から3k+1型の素数は無限に存在する事がわかる。