前半
円の中心をOとして、OからBC,CA,ABにおろした垂線の足をD,E,Fとすると
∠OAE=∠OAF,∠OBF=∠OBD,∠OCD=∠OCE
△OAE≡△OAF,△OBF≡△OBD,△OCD≡△OCE
(以上、内心の性質)
よって△OCD,△OCEは直角二等辺三角形
あとは図を書けばわかると思う。

後半
cはいくらでも長くできると思うんだが、、、
最小値じゃないの？