位数８の群Gの非アーベル群に関しての決定についてですが、正2面体群と4元数群になるのは結果としまして、

元の位数は、8の約数だが、８があるならアーベル群になるし、全部2ならこれもアーベル群ということで、位数4の元があるだろうということになる。
この時、指数は２なので、この元を生成元とする部分群は正規部分群になる。
このときGの元bと正規部分群の元aに対して、bab^-1もまたHの元になるので、bab^-1の位数もまた４になる。
そうなると、bab^-1はa,a^2,a^3に等しいはずなのだが、
bab^-1 = a^-1 = a^3 というのがどうしてなのかわかりません。
a^-1 = a^3ではなくて、bab^-1 = a^-1の方です。式変形ではできなかったみたいだから、a,a^2,a^3(=a^-1)の３つから選択して結論できると言うことですか？