積の微分について教えて下さい。

y＝uvのy'＝u'v＋uv'
となる証明です。
（u、vはxの関数とする）

y＋Δy＝（u＋Δu）＋（v＋Δv）より

lim（Δy/Δx）＝lim（（u＋Δu）･（v＋Δv）―u･v）/Δx

＝lim（Δu/Δx）･v＋u･lim（Δv/Δx）

と途中の式が上のようになるらしいのですが、

＝lim（Δu/Δx）･v＋（u＋Δu）･lim（Δv/Δx）

とならないのは何故なのでしょうか？

よろしくお願いします。