実数Ｒと閉区間[-1/2,1/2]の濃度が等しいことを示せ
という問題で、

x=1/2^n (n∈Ｎ) のとき　f(x)=tan(xπ/2)
それ以外のとき　f(x)=tan(xπ)

という全単射を考えたんですがどうでしょうか。