F(x)：R＾ｎのある開集合Ο → R＾ｎ、C１級
Y(t)を閉集合[t_0,t_1]で定義された微分方程式系 X'＝F(X)、初期条件 X(t_0)=Y_0 の解であるとする。

この設定で、ある定理の証明に

By compactness of [t_0,t_1], there exists ε＞０ such that X∈Ο　if |X-Y(t)|≦ε　for some t∈[t_0,t_1].
The set of all such points is a compact subset.

とあって、これらは感覚的には明らかなんですが、ちゃんとした証明を思いつけません。
どなたかお教えくださいませんか？