>>565
内心・外心が一致したとき
Mが外心だから∠BMC=2∠BAC
Mが内心だから∠BMC=90°+(1/2)∠BAC
よって∠BAC=60°
∠ABC,∠BCAも同様に60°なので△ABCは正三角形

外心・垂心が一致したとき
Mが外心だから∠BMC=2∠BAC
Mが垂心だから∠BMC=180°-∠BAC
よって∠BAC=60°
同様に∠ABC=∠BCA=60°なので△ABCは正三角形

垂心・内心が一致するとき
Mが垂心だから∠BMC=180°-∠BAC
Mが内心だから∠MBC=90°+(1/2)∠BAC
よって∠BAC=60°
同様に∠ABC,∠BCA=60°なので△ABCは正三角形