>>567
まず、内心Ｉと外心Ｏが一致するとき：

三角形ＭＡ”Ｂと三角形ＭＡ”Ｃにおいて
外心の性質よりＡ”Ｂ＝Ａ”Ｃ　かつ　ＭＢ＝ＭＣ　　ＭＡ”共通　
よって三角形ＭＡ”Ｂ≡三角形ＭＡ”Ｃ（三辺相等）

三角形ＭＣ”Ｂと三角形ＭＡ”Ｂにおいて
内心の性質よりＭＣ”＝ＭＡ”（内接円の半径）　かつＡ”Ｂ＝Ｃ”Ｂ（接線の長さ共通）
ＭＢ共通　　よって三角形ＭＣ”Ｂ≡三角形ＭＡ”Ｂ（三辺相等）　　　
”
同様にしてＭＡ”Ｂ≡ＭＡ”Ｃ≡ＭＢ”Ｃ≡ＭＢ”Ａ≡ＭＣ”Ａ≡ＭＡ”Ｂが証明されるため
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡとなり３つは正三角形。

6つの三角形を使うという手法が、なんか汚い気がして
もうすこしすっきりした証明はないでしょうか。