ある三角形ＡＢＣの
１．内心Ｉと外心Ｏが一致するとき
２．外心Ｏと垂心Ｈが一致するとき
３．垂心Ｈと内心Ｉが一致するとき
その三角形が正三角形であることを証明したいです。

いちおう証明らしきものはできたのですが、正三角形なので
いろいろな点が重複してしまい、混乱してしまいます。
うまい証明法があったら教えてください。