不等式への招待 第３章
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0001１３２人目の素数さん
2007/05/13(日) 05:00:00＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
|┃ |:::: ＼ .／ |
|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
過去スレ
・不等式スレッド （Part1） http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
過去スレのミラー置き場：http://briefcase.yahoo.co.jp/bc/loveinequality/
まとめWiki http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
姉妹サイト（？）
Yahoo! 掲示板 「出題 不等式」 http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=l&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=10000
0450１３２人目の素数さん
2008/08/19(火) 08:32:28相加相乗平均に新証明法 県立高校教諭、運転中にひらめく
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/news/1219015315/
0451１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 00:38:27用意しといた解答書いておく
sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
より
8sin(π/12) + 4tan(π/12) ＞ π …(*)
一方
sin(π/12) = (√6 - √2)/4
tan(π/12) = 2 - √3
より
√2 + √3 - (8sin(π/12) + 4tan(π/12))
= √2 + √3 - (2√6 - 2√2 + 8 - 4√3)
= (√2-1)^2 (2-√3)^2 (√3-√2)
これは明らかに正なので
√2 + √3 ＞ 8sin(π/12) + 4tan(π/12) …(**)
(*)(**) より
√2 + √3 ＞ π
0452１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 00:43:24神過ぎる！
0453１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 01:53:34thx
今、こんなの見つけた
ttp://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou2/toukou56.html
簡単な証明あったら、カッコ悪いと思ったけど、大丈夫だった
0454１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 03:13:45sin(π/12) ＞ (π/12) - (1/6)(π/12)^3
tan(π/12) ＞ (π/12) + (1/3)(π/12)^3
これはどこから沸いてきた。
0455１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 04:03:370456１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 18:36:37｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝
を示せ。
0457１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 22:17:40f(x) = ax^2 +bx +c,
f '(x) = 2ax +b,
を与式の両辺に代入する。
奇数次の項は積分すれば0である（計算するには及ばない）。
(左辺) = ∫[-1,1](1-x^2){(2ax)^2 + b^2}dx = (16/15)a^2 + (4/3)b^2,
(右辺) = 6∫[-1,1]{(a^2)x^4 +(2ac+b^2)x^2 +c^2}dx = (12/5)a^2 + 4(2ac+b^2) + 12c^2
= (16/15)a^2 + 4b^2 + (4/3)(a+3c)^2
≧ (16/15)a^2 + 4b^2,
0458１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 22:39:41(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
0459１３２人目の素数さん
2008/08/21(木) 23:30:30この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
0460１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 01:40:53x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
0461１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 07:16:47学校の宿題は自分で考えましょうね
0462１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 07:30:01ｘ＾ｘは単調増加ではない。
0463１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 11:48:30ですよね
0464１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 17:44:47力技過ぎるか
0465１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 18:17:060466１３２人目の素数さん
2008/08/22(金) 21:43:06を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
0467466
2008/08/22(金) 21:45:360468466
2008/08/22(金) 21:49:540469１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 00:41:310470１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 07:00:510≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
cosθ･log(cosθ) ≧ sinθ･log(1/√2) ≧ sinθ･log(sinθ), (0<θ≦π/4)
0471１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 07:36:55(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
k ≧ √(3/2),
0472１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 09:16:09見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
0473１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 21:54:54f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
{tan(x) - x} ' = 1/cos(x)^2 -1 = tan(x)^2 > 0,
と tan(0) -0 =0 から
x･{tan(x)-x} > 0, (|x|<π/2)
g(x) = tan(x) -x -(1/3)x^3
とおくと
g '(x) = 1/cos(x)^2 -1 -x^2 = tan(x)^2 - x^2 >0 (|x|<π/2)
これと g(0) =0 から
x･g(x) >0,
0474１３２人目の素数さん
2008/08/23(土) 23:55:48マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
0475１３２人目の素数さん
2008/08/24(日) 00:10:03ええじゃん。
0476１３２人目の素数さん
2008/08/24(日) 00:14:250477１３２人目の素数さん
2008/08/24(日) 03:29:33はーでぃの本でいきなりつまったwww
0478１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 01:52:02ネタ？
何ページ？
0479１３２人目の素数さん
2008/08/26(火) 22:46:19勿論 exp｛-4/(9t^2)｝ ≦ exp｛-4/(81t^2)｝ なんだけど。
おらの勘違い？
0480１３２人目の素数さん
2008/08/26(火) 23:05:21通約可能ってのは例えば 4/6 が = 2/3 と直せたり
(x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) が
= [(x + 1)(x - 1)]/[(x - 1)(x + 3)] = (x + 1)/(x + 3) と直せたりするように
分母分子に共通の因子があることだけど。
そういう意味で言ってるの？
もしかして不等式の専門書では通約可能という言葉を
難しい意味で使うのかな、とも思ってレス控えてたけど。
Hardyの本って「不等式」のこと？もしかして「数論入門」のほう？
0481１３２人目の素数さん
2008/08/27(水) 07:48:32http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212563635/937-945 より。
937 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 19:55:34
a,b,cをabc=1を満たす正の実数とする。次の不等式を示せ。
(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≦1
945 ：１３２人目の素数さん：2008/08/26(火) 22:40:11
abc=1 とあるから当然、 a=y/z, b=z/x, c=x/y と置くんだろうな。
（左辺) = {(y-z+x)/z}{(z-x+y)/x}{(x-y+z)/y}
題意より、-x+y+z, x-y+z, x+y-z のいづれか2つの和は正だから、
正でないのは高々１つだけ。
・1つが正でない場合、明らかに成り立つ。
・3つとも正の場合、 相乗・相加平均より
√{(x-y+z)(y-z+x)} = √{x^2 - (y-z)^2} ≦ x,
√{(y-z+x)(z-x+y)} = √{y^2 - (z-x)^2} ≦ y,
√{(z-x+y)(x-y+z)} = √{z^2 - (x-y)^2} ≦ z,
辺々掛けて
(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) ≦ xyz,
0482１３２人目の素数さん
2008/08/30(土) 00:54:44レスありがとうございます。
「不等式」のほうです
例えば、p15に「通約可能なウエイト付き平均」と「通約可能でないウエイト付き平均」の
話が出てきます
「また、通約可能でないウエイト付き平均は、通常の平均の中のある種の極限とみなす」
などと書いてあります。
それと、話は違うのですが、これは益田塾のなかの問題ですが、
abc=1(a,b,cは正)で、abcについての対称式である不等式を
a=x/y, b=y/z, c=z/xとおいて一般性を失わず、として書き換えて解く論法っていうのは
一般的な方法なんですか?
0483１３２人目の素数さん
2008/08/30(土) 00:56:27問題とその解答ですね。
0484１３２人目の素数さん
2008/08/30(土) 01:12:12「通常の平均はすでに述べたようにウエイト付き平均の特別な場合である。
一方、通約可能なウエイトつき平均は, 通常の平均に帰着することができる。
実際、同次性によりウエイトはすべて整数であるとしてよく、さらに(ry」
これ読むと、ウエイトが有理数って意味なんかなと(深く考えずに)思っていたんですが
ググってもよくわからずで。
0485１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 06:57:59f(t) = exp{-1/(t^2)} とおく。
f^(k)(t) = {(2/t^3)^k - 3･2^(k-2)･k(k-1)/t^(3k-2) + ･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/[12t^(k+4))] + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^(k+2)} exp{-1/(t^2)}
= {(2/t^2)^k - (3/2)k(k-1) (2/t^2)^(k-1) + ･･････ + (-1)^k (k-1)(k+6)(k+1)!/(12t^4) + (-1)^(k-1) (k+1)!/t^2} (1/t^k) exp{-1/(t^2)}
= P_k(1/t^2) (1/t^k) exp{-1/(t^2)},
ここに P_k はk次の多項式で
P_k(x) = (2x)^k -(3/2)k(k-1) (2x)^(k-1) + ････････ + (-1)^k [(k-1)(k+6)(k+1)!/12] x^2 + (-1)^(k-1) (k+1)! x,
ところで、
f^(k)(t) (t^k) exp{a/(t^2)} = P_k(1/t^2) exp{-(1-a)/(t^2)} = P_k(x) exp{-(1-a)x}, (a=4/81 or 4/9)
これの絶対値が (2^k)(k!) 以下であることを示す。
〔補題〕 a<1, j>0 ならば
(x^j)exp{-(1-a)x} ≦ {j/[(1-a)e]}^j, 等号成立は x=j/(1-a) のとき。
0486１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 15:45:53流石不等式スレ、恐れ入ります。
実は元ネタがあって、コーシーの積分公式より
(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝＝（k!/2πi）∫[exp｛-1/(z^2)｝/(z-ｔ)^(ｋ+1)] dz
0487１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 18:52:13を示す巧い方法ありますかね？
0488１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 18:56:09成り立たないだろ
0489１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 20:16:27凸不等式とか使えばなんとかなるんじゃね。
0490１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 20:47:20とりあえず、A≧B≧Cを仮定して、
f(B,C)=cosB+cosC-cos(B+C)を、0＜C≦π/3、C≦B≦(π-C)/2の範囲で
偏微分でゴリゴリやれば、示せるが。
0491１３２人目の素数さん
2008/09/06(土) 21:03:580492１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 01:12:43cos(A)+cos(B)+cos(C)-1
=cos(A)+cos(B)-cos(B+C)-1
=2*cos(（A+B)/2)*cos((A-B)/2)-2*cos^2((A+B)/2)
=2*cos((A+B)/2)*{cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)}
=2*sin((A+B)/2)*{(-2)*sin(A/2)*sin(-B/2)}
=4*sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)>0
log(cos(A)+cos(B)+cos(C)-1)
=log(4)+log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
≦log(4)+3*log( sin( (A/2+B/2+C/2)/3 ) ) (∵log(sin(x)) は0<x<π/2で上に凸)
=log(4)+3*log(sin(π/6))=log(1/2)
log(x)の単調増加性から cos(A)+cos(B)+cos(C)-1≦1/2
以上から 1<cos(A)+cos(B)+cos(C)≦3/2
0493１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 01:15:39cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1 が成り立つ[*]ので，
示すべき不等式は 0<sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ 1/8 と同値。
sin(A/2)>0などより，左側の不等号は明らか。
右側は，まずは相加相乗平均により
sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ ( { sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 )^3
さらに，凸不等式より
{ sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) }/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = 1/2
なので，sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) ≦ (1/2)^3 = 1/8 となり示せた。
[*]の証明は，C=π-(A+B)を左辺に代入して和積，倍角公式で変形するだけ。
0494１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 13:37:35↑ＡＢ・↑ＡＣの最大値，最小値を求めよ
0495１３２人目の素数さん
2008/09/07(日) 13:46:11三角形ABCの内接円の半径をr、外接円の半径をとすればR
cosA+cosB+cosC=1+r/R
で、R≧2rはすぐ示せるから与不等式も示される
0496１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 01:06:12それ、ハイ理にあったような
0497１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 01:15:31ハイ理とは何ぞや？
>>495
cosA+cosB+cosC=1+r/R はどうやってだすの？
0498１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 02:04:14ハイレベル理系数学という大学受験参考書の一つでつ
ところで、R≧2rを一番簡単に示す方法はなんでしょ?
0499１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 02:31:50( ﾟ∀ﾟ)ﾃﾍｯ、呼んだ？
私のコレクションには４通りの解法が汚い字でメモってあるけど、
久しぶりなので、自分の走り書きが理解できない秘密 ('A;;;,,...
----------------------------------------------------------
(1) ヘロンの公式に …（←走り書きなので読み取れない）を用いた後、
S = abc/(4R) を用いる
(2) 示すべき不等式を基本対称式を用いて表してから頑張る！
R = u/(4S)、r = 2S/s、16S^2 = s(-s^3+4st-8u)
(3) チャップル・オイラーの定理を用いる
(4) 示すべき不等式を sinA、sinB、sinC で表してから頑張る！
----------------------------------------------------------
私は初代不等式スレで自作自演していた一人です。
主に収拾＆出題担当でしたが…
その頃には、書き込んだ不等式を片っ端から証明する不等式神がいますた
それらの証明は、その神に託します
不等式にﾊｧﾊｧしたいのに、雑事が多すぎて時間が取れない我が糞人生… ('A;;;,,...
0500１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 03:12:31>>499
なんか各辺の中点を通る円でのキカ的な証明があった気がする
0501１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 07:55:04外心をO、内心をIとするとに
OI=√(R^2-2Rr)
となることを幾何学的に示す
0502１３２人目の素数さん
2008/09/08(月) 18:39:01それ、チャップル・オイラー
0503１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 02:33:320504１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 02:38:270505１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 02:53:30聞いたことないのは不勉強？
0506１３２人目の素数さん
2008/09/10(水) 03:09:02>>505
ヴィルティンガーつったらspellはwirtingerだろうからぐぐろうぜ
0507１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 17:32:260508１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:01:53ぐぐった結果、動画ファイルなどを見つけて聞いたのならOK
0509１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:12:16何その詭弁
空気読めないねって良く言われるだろ
0510１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:54:23死ねｗ
0511１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:57:09聞いたことはないが知ってるってやつ
0512１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 21:58:30KY1級
0513１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 16:23:44θ=(360/11)°の時(1/cosθ)+(1/cos2θ)+(1/cos3θ)+(1/cos4θ)+(1/cos5θ)の値を求めよ
お願いします
0514１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 16:49:420515１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 17:38:470516１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 18:31:11ヒント：2倍して1を足せ
0517１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 07:01:32次の恒等式を考える。 (11倍角公式)
cos(11t) = T_11(cos(t)),
ここに T_11(x) = 1024x^11 -2816x^9 +2816x^7 -1232x^5 +220x^3 -11x,
T_11(x) -1 = (x-1)(32x^5 +16x^4 -32x^3 -12x^2 +6x+1)^2 = (x-1)p(x)^2,
∴ cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), cos(4θ), cos(5θ) は T_11(x)-1=0, x≠1 の根、すなわち p(x)=0 の根。
∴ 1/cos(θ), 1/cos(2θ), 1/cos(3θ), 1/cos(4θ), 1/cos(5θ) は p(1/t)=0 の根。
(t^5)p(1/t) = t^5 +6t^4 -12t^3 -32t^2 +16t +32,
根と係数の関係より、
(与式) = -6.
0518１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 11:17:09>>121-122
0519１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 12:15:13左辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入してゴリゴリ計算する.
(左辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc) = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c)/(abc) = 1 + 4(S^2)/(abcs) = 1 + (r/R) = (右辺),
ここで、s=(a+b+c)/2, Sは△ABCの面積, r=S/s, R=abc/(4S) を使った。
0520１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 12:43:00中辺に 第二余弦定理 cos(A) = (b^2 +c^2 -a^2)/(2bc), etc. を代入して計算すると
(中辺) = 1 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(2abc),
ここで、
√{( a-b+c)(a+b-c)} = √{a^2 -(b-c)^2} ≦ a,
√{(-a+b+c)(a+b-c)} = √{b^2 -(c-a)^2} ≦ b,
√{(-a+b+c)(a-b+c)} = √{c^2 -(a-b)^2} ≦ c,
辺々掛けて
(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) ≦ abc,
0521519
2008/09/15(月) 21:24:35ヘロンの公式も使った。
s = (a+b+c)/2 とおくと、S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)},
http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘロンの公式
http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
遠山 啓, 数学セミナー, √{(三辺の和の半)×(同−第一辺)(同−第二辺)(同−第三辺)} (1977)
宮沢賢治, 和賀郡二子村・花巻農学校 齋藤貞一あて 封書 (1927)
0522１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 22:19:32x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3
△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)
0523１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 22:49:30>>ヘロンの公式
どっかの馬鹿が勝手につけた名前は重要ではない
0524１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 15:30:46\[
M = (a^{12} + 58a^8 + 193a^4 + 36)(b^{12} + 58b^8 + 193b^4 + 36)(c^{12} + 58c^8 + 193c^4 + 36)(d^{12} + 58d^8 + 193d^4 + 36)(e^{12} + 58e^8 + 193e^4 + 36)(f^{12} + 58f^8 + 193f^4 + 36)
\]
\[
N = 64(a^8 + 12a^4 + 11)(b^8 + 12b^4 + 11)(c^8 + 12c^4 + 11)(d^8 + 12d^4 + 1)(e^8 + 12e^4 + 11)(f^8 + 12f^4 + 11)
\]
.
Prove the following inequality.
\[
\sqrt [8]{\frac {M}{N}}\geq 6.
\]
0525１３２人目の素数さん
2008/09/16(火) 21:58:34そりゃ定理名や式の名前は重要ではないけど、
名前が付いてなきゃ呼びづらいだろ。
0526１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 00:56:06(上) コーシーの不等式より
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,
(中)
f(x) = x･log(x) とおく。
f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。
0527１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 22:00:51∫[-1→1]{f(x)/√(1+x^2)}dx≧0
0528１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 22:34:51(0＜a＜b、X、Y、Zはいずれもa以上b以下であるー)「X+Y+Z=a+2b⇒XYZ≧ab＾2」を示せ
0529１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 07:08:59(Toth の証明)
Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,
一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。
文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162
0530１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 09:25:58S08-4 が不等式の手強い問題。
既に応募締切は過ぎてるけど…。
0531１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:03:270532１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:04:08(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
(右辺) < 3/5.
>>528
XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0, ････ (1)
Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0, ････ (2)
X+Y+Z -a -2b = 0, ････ (3)
(1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より
XYZ - ab^2 ≧ 0.
等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。
0533１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:29:420534１３２人目の素数さん
2008/09/18(木) 22:58:030535１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 01:11:37実際、誘導つきなんですがねえ。
0536１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 02:50:44不等式
{x[1]}^2+{x[2]}^2+･･･+{x[n]}^2＜{-1+x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[4]+･･･+x[n-1]*x[n]+x[n]*x[1]}^2
を示せ。
0537５３６
2008/09/19(金) 02:55:480538１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:19:16(ab)^½ ≤ (a²+b²)/2
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) ≥ (ax+by+cz)²
0539１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:20:410540１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:42:06(-1+納j=1,n]x[j]x[j+1])^2 (x[n+1]=x[1])
=1-2納j=1,n]x[j]x[j+1]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=(納j=1,n]x[j])^2-2納j=1,n]x[j]x[j+1]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
=納j=1,n]x[j]^2+2納1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞納j=1,n]x[j]^2
0541１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:45:520542１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 11:46:410543KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/09/19(金) 12:30:280544１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 14:54:59＞ =(納j=1,n]x[j])^2-2納j=1,n]x[j]x[j+1]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
＞ =納j=1,n]x[j]^2+2納1≦i＜j-1≦n]x[i]x[j]+(納j=1,n]x[j]x[j+1])^2
これはどういう変形？
0545１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 16:20:24(納j=1,n]x[j])^2 を展開しただけ
0546１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 17:52:030547１３２人目の素数さん
2008/09/19(金) 18:29:250548KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/09/19(金) 21:06:370549１３２人目の素数さん
2008/09/20(土) 03:45:57x[1] + x[2] + ･･･ + x[n] = s,
Σ[1≦i<j≦n] x[i]*x[j] = t,
とおくと
s = 1,
納j=1,n]x[j]*x[j+1] ≦ t,
だから
(左辺) = s^2 -2t = 1-2t,
(右辺) > (1-t)^2,
よって成立。
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