整式の余りの問題なのですが、この解法が理解できません・・。

【問】
xの整式P(x)をx-1で割ると1余り、x^2-x+1で割ると2x+1余る時、
P(x)を(x-1)(x^2-x+1)で割った余りを求めなさい。

【模範解答】
まずP(x)=(x^2-x+1)R(x) + 2x+1　・・・・・①
P(x)=(x^2-x+1)S(x) + ２次式　とおける。

①より、余りの２次式は a(x^2-x+1)+2x+1とおける。（aは定数）

よって
P(x)=(x^2-x+1)S(x)＋a(x^2-x+1)+2x+1
P(1)=a(1-1+1)+3　・・・・・・・・・・・・【コレ】
またP(1)=1 （過去に判明）
よってa=-2
すなわち求める余りは-2(x^2-x+1)+2x+1=-2x^2+4x-1【終】


・・って言う具合なんですが、「a」と置き換えている部分で、
aはxの整式なはずなのに、aをあたかも定数と見て、代入して求めているところがわかりません。
解き方自体はあっているようなのですが、その理由がわかりません。
お助けお願いします。