等式g(x)+3∫[1,x]tg'(t)dt=x^3-7x^2-5x+2をみたす整式g(x)に対して、g(x),g'(x)を求めよ。

という問題なんですが、与えられた等式の両辺を微分したときに
g'(x)+3xg'(x)=3x^2-14x-5　となるのがわかりません。左辺は
g'(x)+3tg'(x)になるのでは？と思ってしまうのですが。

あと解説には「g(x)はn次の整式であるとすると（左辺の次数)=n+1と表せる」と
あるんですが何でn+1になるのかもわかりません。
誰か解説お願いします。