e、自然対数の底

0001１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 18:01:42

πと並ぶ無理数のking
高校で突然習う、この不思議な数について

0002１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 18:10:46

iも

0003１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 18:29:28

>>1
何について議論したいのかもっと書いて

0004１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 18:32:20

私を呼んだかとか…脳を読むヤツをつぶせ…ってレスで埋まりそうなヨカン

0005にょにょ ◆yxpks8XH5Y

2007/01/06(土) 18:41:23

∫[-∞,∞](sin(x)/x)dx / ∫[-∞,∞](cos(x)/(x^2+1))dx = e

0006KingOfUniverse ◆667la1PjK2

2007/01/06(土) 19:09:14

talk:>>1 私を呼んでないか？

0007１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 19:30:26

>>6
自然対数の底eの定義言ってください
lim[h→0](1+h)^(1/h)とかlim[n→∞](1+(1/n))^nとか絶対に言わないでください

0008１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 19:33:15

なんで？

0009１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 20:18:17

他に何で定義しろっていうんだ？

0010１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 20:24:39

まあ微分方程式や積分を利用した定義は出来るけど
ただなぜそこの定義を言ってはいけないのかはようわからんわな

0011１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 20:45:04

y´=y

0012１３２人目の素数さん

2007/01/06(土) 21:36:23

y=0

0013Euler の公式

2007/01/07(日) 00:05:36

最初に e の定義から始めることにしましょう：

【自然対数の底 e の定義】
指数関数 y=a^x において，
y 軸との交点 (0,1) での接線の傾きが 1 である指数関数を y=e^x と定義します。
これで，自然対数の底 e の値を定めます。

>>1-2

不思議な数字の e および i が入ってくる非常に有名な公式を挙げておきましょうね：

【 Euler の公式】

　　　　　e^(ix) = cosx ＋ i sinx

0014１３２人目の素数さん

2007/01/07(日) 11:22:09

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……

0015１３２人目の素数さん

2007/01/07(日) 11:28:51

King禁止

0016１３２人目の素数さん

2007/01/07(日) 11:54:07

>>7
(a^x)'=a^xをみたすaをeと定義する
もしくは(log[a]x)'=1/xをみたすaをeと定義する

0017１３２人目の素数さん

2007/01/08(月) 14:41:11

e^x について、テイラー展開より高速な近似計算方法ってある？

0018１３２人目の素数さん

2007/01/08(月) 16:38:19

指数関数の逆数みたいに各項が小さくなっていくやつがそうかな・・・

・・・え？

0019KingOfUniverse ◆667la1PjK2

2007/01/09(火) 12:01:08

talk:>>15 何やってんだよ？

0020１３２人目の素数さん

2007/01/09(火) 12:22:27

>>17
ガウスの算術幾何平均法で楕円積分が計算できて
その特殊例としてlog(x)が計算できるので、
log(x)の逆関数をニュートン反復で計算する方法が
いまのところもっとも高速。

テイラー展開はN桁求めるのに、O(N)回の加減乗算が必要なのに対して
この方法はO(log(N))回の演算量ですむ。

0021１３２人目の素数さん

2007/01/09(火) 12:58:17

>>20
すげぇ！標準ライブラリの仕様ってその方法になってる？

002220

2007/01/09(火) 16:58:34

この方法は数百万桁以上の超高精度向きで、普通の精度ではオーバーヘッドが
大きいため、この方法は使われていません。

普通の精度の場合は、加法定理により区間を分けて、多項式近似をします。
通常は16桁の場合は12次式程度の多項式で近似できますが
区間を分けてxの値を小さくすればより小さな次数の多項式で計算できます。

極端な場合、某社のコンパイラは、区間を数百等分して３次関数で近似して、
指数関数や三角関数を数クロックで計算するという曲芸的な方法をとっています
(もちろんIntel系のCPUの組み込み関数より高速)。

0023１３２人目の素数さん

2007/01/09(火) 18:12:04

>>22
なるほど。精度にこだわるマニア向きってわけか。
しかし、区間数百等分 3 次ってロマンを感じないな。

0024１３２人目の素数さん

2007/01/09(火) 19:20:02

何をおっしゃっているのか僕には分かりません

0025ぴか z (．ﾟ－ﾟ) ◆pikaMw.D1M

2007/01/09(火) 19:35:24

昔kingの日記でネピア数について書かれたものがあった

0026ぴか z (．ﾟ－ﾟ) ◆pikaMw.D1M

2007/01/09(火) 19:36:05

というかπなら中学ぐらいで習うのでは？

0027KingOfUniverse ◆667la1PjK2

2007/01/10(水) 09:23:22

nが0以上の整数ならば、a(2n,0)=2n+2, a(2n+1,0)=1として、
さらにmが0以上n未満の整数ならばa(n,m+1)=a(n-m-1,0)+1/a(n,m)とする。
a(2n+2,2n+2)>a(2n,2n), a(2n+3,2n+3)<a(2n+1,2n+1), lim_{n→∞}(a(n,n))はネピアの数であることを証明せよ。

0028KingOfUniverse ◆667la1PjK2

2007/01/10(水) 09:35:37

nが0以上の整数ならば、a(0,0)=2,a(3n+1,0)=1,a(3n+2,0)=2n+2,a(3n+3)=1として、
さらにmが0以上n未満の整数ならばa(n,m+1)=a(n-m-1,0)+1/(a(n,m))とする。
lim_{n→∞}(a(n,n))はネピアの数であることを証明せよ。

0029KingOfUniverse ◆667la1PjK2

2007/01/10(水) 09:41:39

[>>27]のは謎の値に収束する。

0030１３２人目の素数さん

2007/02/05(月) 17:15:25

102

0031１３２人目の素数さん

2007/03/11(日) 20:38:26

441

0032１３２人目の素数さん

2007/06/25(月) 07:44:21

664

0033１３２人目の素数さん

2007/08/13(月) 00:50:03

対数関数の逆関数が指数関数っていわれても、どこが「逆」なのかわかんないんだけど。
同じく自然数aの逆数が1/aっていわれても、どこが「逆」なのかわかんないんだけど。
そもそも負の数に負の数を掛けるとなんで正の数になるのかわかんないんだけど。
「定義」だからしょうがないってやつか？

0034１３２人目の素数さん

2007/08/13(月) 00:55:25

俺みたいに数学赤点の椰子は、脳の制御回路が一次元的物理量しか扱えない仕様になっているんだと理解している。

0035１３２人目の素数さん

2007/08/13(月) 00:55:32

>>33 逆関数の定義を知ってて言ってるのか？

0036β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/13(月) 01:02:06

(e)'=eらしいが、
(1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ……)'
=(1/1)'+(1/1!)'…
=0+0+…
=0だと思う事もある。

0037１３２人目の素数さん

2007/08/13(月) 01:21:13

βさんの相変わらず素敵なレスにホレボレします（棒

0038β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/13(月) 01:24:52

棒読みであるところに、味が出てるな。

0039１３２人目の素数さん

2007/08/13(月) 23:17:19

確かに(e)'=0だな

0040１３２人目の素数さん

2007/08/14(火) 21:25:30

(e)'=0 (ex)'=ex
であってますか？（もちＸでビブン）

0041β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/15(水) 00:38:27

>>40
どっちかつったら(ex)'=eじゃね？

0042１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 01:50:55

>>20-22
ノイマン型コンピューターと量子コンピューターの如し!!

0043１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 01:55:04

ネタか…
(e)'=0
(ex)'=x
(e^x)'=e^x

0044１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 01:58:32

(ex)'=eだろ

0045１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 02:04:43

>>40
頭が回らなくなったんだろうか。
eも一定数なので
(x^n)'=n(x^(n-1))
(a(x^n))'=an(x^(n-1))
(n:定数)
の例に漏れず
(e(x^n))=en(x^(n-1))

eに関する微分公式と言えばやはり
e^x=e^x
だろ

004645

2007/08/15(水) 02:08:25

こんな時間に他者重複レスとは

>>20
公式レスプリーズ

0047１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 03:02:03

>>44
うわ間違えた

0048１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 04:22:27

eが絡んでる微分・積分について、例題と解放がたくさんのってるオススメの参考書ってない？

0049１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 05:24:01

岩波の数学公式

0050１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 05:31:57

E女やA女が絡んでる……

ごめん何でもない。

0051β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/15(水) 10:45:37

(e)'=0
(ex)'=x

↑はeを定数とみなすときのみだよな？
実際はe'=e

0052１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 11:53:45

eは定数じゃないのか

0053１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 12:13:01

e=2.71828183

0054１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 14:08:13

>>51
愚か者。物理板でも白い目で見られてからに。

先ず最初にeが自然対数の底とし
xの微分の話である事を断っておく。

自ずと然り、eは定数で近似値は>>53。

(a^x)'=(log a)^x (aは定数 xは変数)
然し、(e^a)'=0

特にa=eならば
(a^x)'=(log a)^xに代入して
(e^x)'=e^x
だろうがよ。
それ以前に、お前のいうeは何なんだ？

0055β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/15(水) 15:15:21

>>54
お前何いってんの？>>51の何に対して「間違ってる」といってるんだ？
それで、物理板とかあんなん遊びだよ？オレ元から数学板の住人だし。
物理専門の人間は頭抜けてるヤツ多いんだよなー日本語も変だし。

0056１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 15:58:24

ちょっと変な人に何かを仕掛けられるかもしれないと言っている
そんなこともわからないとはのんきだね

0057β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/15(水) 17:04:53

>>56
意味不明ですがｗ
マジで日本語きちんと話してくれる？自分で話しててもよくわからんこといってるって
後で思うこととかあるでしょ？
物理系の人間はほんっとこういう面で頭悪いのが多いな。
のんきだね　って何だよｗｗまじ正しい日本語使え。

0058１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 17:13:40

(ex)'=x とかいってるやつには言われたくないだろうな

0059１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 17:15:03

>>54
(a^x)'=(log a)a^xじゃないのか？
これにa=eを代入したときlog e=1だから
(e^x)'=e^xとなるんだろ。
書き間違いか？

0060１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 20:34:41

ホンモノのバカを見た

006140

2007/08/15(水) 20:42:30

はずかしい間違いをしてしまった（＞＿＜）

0062１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 20:44:45

e^xを微分したら
xe^(x-1)なんだぜ？
しってた？

0063１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 21:09:02

>>62 確かに、「どの変数で」ってのは書かないとね。

0064１３２人目の素数さん

2007/08/15(水) 22:02:11

e^(i*(-i))=eより
cos(-i)+isin(-i)=eだから
なんとかして幾何的に定義する

0065１３２人目の素数さん

2007/08/16(木) 00:07:35

βよりはみんな救いがあるからな。
何てったって
(ex)'=xとかe'=eとか本気で言ってるし

またいつもみたいに
『本気？冗談だろうがｗ』みたいな事とかいうなら
これはかなりタチ悪い荒らしだ。

…(ex)'=eで(e^x)'=e^xだろうがよ？

0066１３２人目の素数さん

2007/08/16(木) 00:44:27

セックスデラックスはエクスタシー

∫e^xdx=e^x+C

0067β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/16(木) 22:06:12

>>65
で、e'=eじゃないの・・？

0068サッフォー ◆RWbI2.Pg1I

2007/08/16(木) 22:35:57

>>67
e'=0 じゃないの？

0069１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 03:09:15

>>67
eは定数だと何度も（ｒｙ

0070１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 03:14:31

e'=e

1'=1
2'=2
π'=π

0071１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 06:54:47

その昔eの最初の20桁をメールアドレスにしていた

0072１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 06:58:45

e≒3
π≒3
∴e≒π

0073１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 07:13:56

e^0=π^0=3^0 ∴ e=π=3

0074１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 09:17:39

>>72　＆>>73
笑える

0075１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 10:41:37

e=2.71828182845904523536028...だけど
以前この板で他の名無しが教えてくれた覚え方

「2.7 1828 1828 459 045 235 36 028」
「ナニ　1発2発 1発2発しごくおしっこふみ子見ろ鬼や」
を未だに覚えてる

0076β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/17(金) 11:06:43

あれ、オレずっとeは定数なのに微分したらeになる不思議な数って思ってたかも。

0077１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 11:36:03

いま高２で、いきなりネイピア数がでてきたがまったくわからん。
なんで対数関数の導関数は全部еになんのうっぜ
消えろやネイピア

0078１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 11:40:14

高校数学なんて
e^x、sin,cos,tan、x^n
これらとその逆関数の微分ができりゃ十分。

0079１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 12:13:01

>>77
まず、教科書に違和感を感じられなくなったら終わりだ。その点、君は
まだ見込みがあるぞ。違和感を感じたら、なぜそれが自然なものとして
通用しているのか、答えを模索するんだ。答えはすぐには見つからない。
決して妥協せず、その違和感を心の片隅にもち続けろ。

0080１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 13:37:49

>>77
でもネイピア数は微分を簡単にするために生まれてきたんじゃないの？
eなしで対数関数や指数関数の微分ができますか？

0081１３２人目の素数さん

2007/08/17(金) 13:47:44

微分方程式
y'=yかつx=0のときy=1になるもの
この関数をy=e^xと定義する

0082β ◆aelgVCJ1hU

2007/08/17(金) 14:11:20

違和感は消さなきゃいけない。持ち続けろというのは間違い。
よって解説してあげるのが適切。